Considere um sistema de N partículas clássicas (sem spin), que podem ocupar somente dois níveis com energias \mathrm{E}_{1}=+\mathrm{E} e \mathrm{E}_{2}=-\mathrm{E}, tais que \mathrm{g}_{1}=\mathrm{g}_{2}=1.
a) Determine a energia média total do sistema.
b) Para os limites de altas e baixas temperaturas, determine o número médio de partículas ocupando cada nível e a energia média do sistema. Interprete fisicamente esses resultados.

Passo 1

O enunciado dá um sistema de N partículas clássicas (sem spin) que podem ocupar apenas dois níveis de energia, com energias e degenerações:
E_1 = +E,\quad g_1 = 1,
E_2 = -E,\quad g_2 = 1.
O que nos pedem:
  1. (a) Determinar a energia média total do sistema em função de N, E e da temperatura T.
  2. (b) Nos limites de altas e baixas temperaturas, determinar o número médio de partículas ocupando cada nível e a energia média do sistema, e interpretar fisicamente esses resultados.
Informações relevantes que já temos do enunciado e usaremos: o sistema é não-interagente (cada partícula escolhe independentemente um dos dois níveis), as degenerações são 1 para cada nível, e usaremos a estatística canônica com \beta = 1/(k_B T), onde k_B é a constante de Boltzmann.

Passo 2

Primeiro vamos trabalhar com uma única partícula. Em estatística canônica, a função partição de uma partícula (partição interna) é a soma das contribuições de Boltzmann de cada nível, pesadas por suas degenerações. Aqui:
z = \sum_{i} g_i e^{-\beta E_i}.
Substituindo os dados (peguei E_1 e E_2 do enunciado):
z = e^{-\beta E} + e^{+\beta E}.
Podemos reconhecer essa soma como 2\operatorname{cosh}(\beta E). Ou seja,
z = 2\operatorname{cosh}(\beta E).
Explicação breve do conceito: z é uma normalização que garante que as probabilidades de ocupar cada nível somem 1; a probabilidade de a partícula estar no nível i é p_i = g_i e^{-\beta E_i}/z.

Passo 3

Calculemos explicitamente as probabilidades de ocupação de cada nível para uma partícula (usando z acima):
p_1 = \frac{e^{-\beta E}}{e^{-\beta E}+e^{\beta E}} = \frac{1}{1+e^{2\beta E}},
p_2 = \frac{e^{\beta E}}{e^{-\beta E}+e^{\beta E}} = \frac{1}{1+e^{-2\beta E}}.
Uma forma equivalente, útil para conexão com \operatorname{tanh}, é:
p_1 = \frac{1-\operatorname{tanh}(\beta E)}{2},\qquad p_2 = \frac{1+\operatorname{tanh}(\beta E)}{2}.
Comentário didático: \operatorname{tanh}(\beta E) varia entre -1 e +1; aqui, porque E>0 e as energias são simétricas, \operatorname{tanh}(\beta E) controla o desequilíbrio entre níveis.

Passo 4

Agora calculamos a energia média de uma única partícula. Pela definição de valor esperado:
\langle\epsilon\rangle = \sum_i E_i p_i = E\cdot p_1 + (-E)\cdot p_2.
Usando as probabilidades (ou usando o truque derivada abaixo) obtemos:
\langle\epsilon\rangle = \frac{E e^{-\beta E} - E e^{\beta E}}{e^{-\beta E}+e^{\beta E}} = -E\,\frac{e^{\beta E}-e^{-\beta E}}{e^{\beta E}+e^{-\beta E}} = -E\,\operatorname{tanh}(\beta E).
A mesma expressão também surge do truque útil da estatística: a energia média pode ser escrita como
\langle\epsilon\rangle = -\frac{\partial}{\partial \beta}\ln z,
onde z é a função partição da partícula. Com z=2\operatorname{cosh}(\beta E),
-\frac{\partial}{\partial \beta}\ln z = -\frac{\partial}{\partial \beta}\ln\big(2\operatorname{cosh}(\beta E)\big) = -\frac{E\operatorname{sinh}(\beta E)}{\operatorname{cosh}(\beta E)} = -E\operatorname{tanh}(\beta E),
confirmando o resultado anterior. Explicação do truque: derivar \ln z em relação a \beta traz fatores de energia que dão a média ponderada.

Passo 5

Como as partículas são não-interagentes e idênticas no sentido de comportamento térmico, a energia média total do sistema é N vezes a energia média por partícula. Portanto:
U \equiv \langle E_{\text{total}}\rangle = N\langle\epsilon\rangle = -N E\,\operatorname{tanh}(\beta E).
Substituindo \beta = 1/(k_B T) se preferir:
U = -N E\,\operatorname{tanh}\!\bigg(\frac{E}{k_B T}\bigg).
Isto responde a parte (a).

Passo 6

Agora vamos dar as fórmulas para o número médio de partículas em cada nível (parte (b), geral, antes dos limites). A probabilidade de uma partícula estar em E_1 é p_1 e em E_2 é p_2. Assim os números médios são:
\langle N_1\rangle = N p_1 = N\frac{1-\operatorname{tanh}(\beta E)}{2},
\langle N_2\rangle = N p_2 = N\frac{1+\operatorname{tanh}(\beta E)}{2}.
Como verificação rápida: \langle N_1\rangle+\langle N_2\rangle = N. A energia média já dada pode também ser escrita em termos desses números:
U = E\langle N_1\rangle + (-E)\langle N_2\rangle = -N E \operatorname{tanh}(\beta E).

Passo 7

Limite de altas temperaturas: \beta E \ll 1 (ou k_B T \gg E).
  • Expandindo \operatorname{tanh}(x) para x\ll1: \operatorname{tanh} x \approx x - x^3/3+\cdots. Com x=\beta E,
\operatorname{tanh}(\beta E) \approx \beta E.
  • Portanto a energia média total fica, em primeira ordem,
U \approx -N E (\beta E) = -\frac{N E^2}{k_B T}.
Note que quando T\to\infty, U\to 0. Para os números médios:
\langle N_1\rangle \approx N\frac{1-\beta E}{2}\approx \frac{N}{2} \quad(\text{quando }T\to\infty),
\langle N_2\rangle \approx \frac{N}{2}.
Interpretação física (alta T): a energia térmica domina sobre a diferença de níveis, então ambos os níveis ficam igualmente povoados ( \langle N_1\rangle=\langle N_2\rangle=N/2) e a energia média tende a zero porque as contribuições +E e -E se cancelam em média. O pequeno desvio -N E^2/(k_B T) é um efeito de ordem 1/T.

Passo 8

Limite de baixas temperaturas: \beta E \gg 1 (ou k_B T \ll E).
  • Para x\gg1, \operatorname{tanh} x \approx 1 - 2e^{-2x} + \cdots. Com x=\beta E,
\operatorname{tanh}(\beta E) \approx 1 - 2e^{-2\beta E}.
  • Assim a energia média total:
U = -N E\,\operatorname{tanh}(\beta E) \approx -N E\big(1 - 2e^{-2\beta E}\big) \approx -N E + 2N E e^{-2\beta E}.
  • Para os números médios:
\langle N_2\rangle \approx N\frac{1+1}{2}=N\quad(\text{quando }T\to 0),
\langle N_1\rangle \approx N\frac{1-1}{2}=0,
com correções exponencialmente pequenas: \langle N_1\rangle \sim N e^{-2\beta E}.
Interpretação física (baixa T): a energia favorece a ocupação do estado de menor energia ( E_2=-E), então praticamente todas as partículas caem para esse nível (estado fundamental) e a energia total tende ao mínimo possível -N E. As populações do nível excitado são suprimidas exponencialmente como esperado para um sistema de dois níveis.

Passo 9

Resumo físico curto (motivacional): em temperaturas muito altas as partículas “esquecem” a diferença de energia e se distribuem igualmente; em temperaturas muito baixas elas “congregam” no nível de energia menor para minimizar energia. Esses dois comportamentos são exatamente os esperados para um sistema de dois níveis em contato com um reservatório térmico — é um exercício padrão para entender o papel da função partição e de \operatorname{tanh} nas ocupações.

Resposta

\displaystyle U = -N E\,\operatorname{tanh}\!\bigg(\frac{E}{k_B T}\bigg)
Alta temperatura ( k_B T \gg E):
\displaystyle \langle N_1\rangle \approx \langle N_2\rangle \approx \frac{N}{2}
\displaystyle U \approx -\frac{N E^2}{k_B T}\to 0
Baixa temperatura ( k_B T \ll E):
\displaystyle \langle N_1\rangle \approx 0,\quad \langle N_2\rangle \approx N
\displaystyle U \approx -N E

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