Calcule o diferencial total d z para cada função:
z=e^{x^{2} y}

Passo 1

O enunciado pede o diferencial total de z=e^{x^{2}y}. Aqui o conteúdo é diferenciar funções de duas variáveis e usar a fórmula
dz = \frac{\partial z}{\partial x}\,dx + \frac{\partial z}{\partial y}\,dy.

Passo 2

Para calcular \frac{\partial z}{\partial x}, tratamos y como constante. Como
z = e^{x^{2}y},
vemos que
\frac{\partial z}{\partial x} = e^{x^{2}y}\cdot\frac{d}{dx}(x^{2}y) = e^{x^{2}y}\cdot(2x\,y) = 2x\,y\,e^{x^{2}y}.

Passo 3

Para calcular \frac{\partial z}{\partial y}, agora x é constante. Logo,
\frac{\partial z}{\partial y} = e^{x^{2}y}\cdot\frac{d}{dy}(x^{2}y) = e^{x^{2}y}\cdot x^{2} = x^{2}e^{x^{2}y}.

Passo 4

Substituindo as derivadas parciais na fórmula do diferencial total, obtemos
dz = \bigl(2x\,y\,e^{x^{2}y}\bigr)\,dx + \bigl(x^{2}e^{x^{2}y}\bigr)\,dy.

Resposta

dz = 2x\,y\,e^{x^{2}y}\,dx + x^{2}e^{x^{2}y}\,dy.

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