Derivadas de Função de Uma Variável. Considere uma função qualquer, f, que depende de uma única variável x, ou seja, f=f(x).
Defina o que é a derivada de uma função, neste caso \frac{d f}{d x}, e o que ela representa do ponto de vista físico e matemático.

Passo 1

O enunciado pede a definição de derivada de uma função de uma variável, isto é, f=f(x), e que expliquemos o que \tfrac{d f}{d x} representa do ponto de vista matemático e do ponto de vista físico. Para isso, vamos usar o conceito de limite e as interpretações geométrica e de taxa de variação.

Passo 2

Matematicamente, a derivada de f em um ponto x é definida como o limite da taxa de variação média quando o incremento no argumento tende a zero. Em símbolos:
\frac{d f}{d x}(x) =\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
Esse limite, se existir (isto é, se a função for diferenciável em x), fornece um número que chamamos de derivada de f em x.

Passo 3

Do ponto de vista geométrico e matemático, \tfrac{d f}{d x}(x) é a inclinação da reta tangente ao gráfico de y=f(x) no ponto \bigl(x,f(x)\bigr). Além disso, é o coeficiente linear da melhor aproximação linear de f em torno de x, pois
f(x+h)\approx f(x)+\frac{d f}{d x}(x)\,h
para h pequeno.

Passo 4

Fisicamente, \tfrac{d f}{d x} representa a taxa de variação instantânea de f em relação a x. Por exemplo, se x for o tempo t e f(t) a posição de um móvel, então \tfrac{df}{dt} é a velocidade instantânea. Em geral, sempre que uma grandeza f varia conforme um parâmetro x, sua derivada diz “quão rápido” f cresce ou decresce naquele ponto.

Resposta

A derivada de f em x é
\frac{d f}{d x}(x) =\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
Matematicamente, ela dá a inclinação da reta tangente ao gráfico de f em x e a melhor aproximação linear local de f;
fisicamente, ela fornece a taxa de variação instantânea de f em relação a x.

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