Derivadas de Função de Uma Variável. Considere uma função qualquer,
, que depende de uma única variável
, ou seja,
.
Defina o que é a derivada de uma função, neste caso
, e o que ela representa do ponto de vista físico e matemático.
Defina o que é a derivada de uma função, neste caso
Passo 1
O enunciado pede a definição de derivada de uma função de uma variável, isto é,
, e que expliquemos o que
representa do ponto de vista matemático e do ponto de vista físico. Para isso, vamos usar o conceito de limite e as interpretações geométrica e de taxa de variação.
Passo 2
Matematicamente, a derivada de
em um ponto
é definida como o limite da taxa de variação média quando o incremento no argumento tende a zero. Em símbolos:
Esse limite, se existir (isto é, se a função for diferenciável em
), fornece um número que chamamos de derivada de
em
.
Passo 3
Do ponto de vista geométrico e matemático,
é a inclinação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
. Além disso, é o coeficiente linear da melhor aproximação linear de
em torno de
, pois
para
pequeno.
Passo 4
Fisicamente,
representa a taxa de variação instantânea de
em relação a
. Por exemplo, se
for o tempo
e
a posição de um móvel, então
é a velocidade instantânea. Em geral, sempre que uma grandeza
varia conforme um parâmetro
, sua derivada diz “quão rápido”
cresce ou decresce naquele ponto.
Resposta
A derivada de
em
é
Matematicamente, ela dá a inclinação da reta tangente ao gráfico de
em
e a melhor aproximação linear local de
;
fisicamente, ela fornece a taxa de variação instantânea de em relação a
.
fisicamente, ela fornece a taxa de variação instantânea de