Derivadas de Função de Uma Variável. Considere uma função qualquer,
, que depende de uma única variável
, ou seja,
.
Deduza a equação da hidrostática,
, a partir da análise das forças que atuam em um elemento de volume diferencial de fluido. Considere que o eixo
aponta para cima, na direção oposta ao vetor da aceleração da gravidade,
.
Deduza a equação da hidrostática,
Passo 1
O enunciado pede para deduzir a equação da hidrostática
analisando as forças num elemento de volume diferencial de fluido. O eixo
aponta para cima e a gravidade tem módulo
para baixo. Vamos usar equilíbrio de forças no sentido vertical.
Passo 2
Considere um elemento de fluido cilíndrico de área de base
e espessura
. O volume é
e a massa desse elemento vale
. As forças verticais são:
- Força para cima na face inferior:
. - Força para baixo na face superior:
. - Peso do elemento apontando para baixo:
.
Passo 3
Como o fluido está em equilíbrio estático, a soma algébrica das forças verticais é zero:
ou seja
Passo 4
Expandimos
em série de Taylor até primeira ordem:
Substituindo em
os termos
se cancelam e obtemos
Passo 5
Dividindo por
(não nulo) chega-se a