Derivadas de Função de Uma Variável. Considere uma função qualquer, f, que depende de uma única variável x, ou seja, f=f(x).
Deduza a equação da hidrostática, \frac{d p}{d z}=-\rho g, a partir da análise das forças que atuam em um elemento de volume diferencial de fluido. Considere que o eixo z aponta para cima, na direção oposta ao vetor da aceleração da gravidade, \vec{g}.

Passo 1

O enunciado pede para deduzir a equação da hidrostática
\frac{dp}{dz} = -\rho\,g
analisando as forças num elemento de volume diferencial de fluido. O eixo z aponta para cima e a gravidade tem módulo g para baixo. Vamos usar equilíbrio de forças no sentido vertical.

Passo 2

Considere um elemento de fluido cilíndrico de área de base A e espessura dz. O volume é
dV = A\,dz
e a massa desse elemento vale \rho\,dV=\rho\,A\,dz. As forças verticais são:
  1. Força para cima na face inferior: F_{\text{inf}} = p(z)\,A.
  2. Força para baixo na face superior: F_{\text{sup}} = p(z+dz)\,A.
  3. Peso do elemento apontando para baixo: W = \rho\,g\,A\,dz.

Passo 3

Como o fluido está em equilíbrio estático, a soma algébrica das forças verticais é zero:
F_{\text{inf}} - F_{\text{sup}} - W = 0
ou seja
p(z)\,A \;-\; p(z+dz)\,A \;-\; \rho\,g\,A\,dz = 0.

Passo 4

Expandimos p(z+dz) em série de Taylor até primeira ordem:
p(z+dz) = p(z) + \frac{dp}{dz}\,dz + o(dz).
Substituindo em
p(z)\,A - \bigl[p(z) + \tfrac{dp}{dz}\,dz\bigr]A - \rho\,g\,A\,dz = 0
os termos p(z)\,A se cancelam e obtemos
-\frac{dp}{dz}\,A\,dz \;-\; \rho\,g\,A\,dz = 0.

Passo 5

Dividindo por A\,dz (não nulo) chega-se a
-\frac{dp}{dz} - \rho\,g = 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dp}{dz} = -\rho\,g.

Resposta

\frac{dp}{dz} = -\rho\,g.

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