Calcule a fugacidade e o coeficiente de fugacidade do vapor d’água a
2 MPa e
;
2 MPa e
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para o vapor d’água nas condições indicadas:
- Calcular a fugacidade
. - Calcular o coeficiente de fugacidade
(definido por ).
Informações numéricas fornecidas e conversões iniciais:
- Pressão:
. - Temperatura:
.
Constantes de referência (dados para a substância — água):
- Temperatura crítica:
. - Pressão crítica:
. - Fator acêntrico:
.
Constante universal dos gases (no SI):
-
.
Resumo objetivo: com
e
dados, vou obter
e então
.
Passo 2
Por que método escolhi e o que vamos usar (explicação curta e didática)?
- Precisamos de um método que dê conta do comportamento real do vapor d’água a
e . A temperatura dada é maior que (logo o fluido está em região supercrítica em temperatura), então o comportamento ideal pode não ser suficiente. - Um método eficiente e amplamente usado em provas para obter
é usar uma equação de estado cúbica (por exemplo, Peng–Robinson). Ela fornece uma relação entre (fator de compressibilidade) e permite calcular por fórmula analítica. - Vou aplicar a equação de estado de Peng–Robinson (PR) e a fórmula padrão para o coeficiente de fugacidade associada a essa EOS. Vou explicar cada fórmula e cada quantidade que eu calcular.
Observação intuitiva do que é
:
-
mede o quão “não-ideal” é o gás: indica comportamento ideal; indica atração predominante (fugacidade menor que ); indica repulsão predominante.
Passo 3
Apresentação da equação de Peng–Robinson (fórmulas e parâmetros) e definição das quantidades que vamos calcular:
- Para PR usamos os parâmetros
- A correção de temperatura é dada por
com
- Define-se
. - Definem-se ainda os parâmetros adimensionais
- O fator de compressibilidade
é raiz da cúbica PR:
- O coeficiente de fugacidade para PR é dado por
- Depois obtemos
.
Agora vamos calcular passo a passo cada um desses termos com os números.
Passo 4
Cálculo de
e
— explico o que significam:
-
é um parâmetro empírico que depende do fator acêntrico ; ele ajusta a dependência de com a temperatura.
Cálculo numérico:
Primeiro
. Então
Agora
Então
Então
Passo 5
Cálculo de
,
e
— explicando unidades e significado:
-
tem dimensão tal que seja adimensional (usamos SI).
Cálculo:
Com
,
,
,
fica (efetuando as contas)
fica (efetuando as contas)
Em seguida
A correção de temperatura dá
(Observação didática:
representa um volume “excluído” por mol;
representa força de atração entre moléculas.)
Passo 6
Cálculo dos parâmetros adimensionais
e
:
- Lembre:
e .
Primeiro calculamose :
Então
Explicação:
mede a importância relativa das interações atraentes na equação adimensionalizada;
mede a importância do volume de exclusão.
Passo 7
Montagem da equação cúbica em
(mostro os coeficientes e o porquê):
A cúbica é
A cúbica é
Substituindo os valores numéricos:
Logo a cúbica vale numericamente
Passo 8
Solução da cúbica para obter
(explico seleção da raiz):
- A equação de terceiro grau pode ter 1 ou 3 raízes reais. Para condições de vapor procuramos a raiz que corresponde ao comportamento gasoso (geralmente a maior raiz real).
- Em problemas de prova pode-se resolver numericamente por tentativa/interpolação ou usar método de Newton; aqui faço uma avaliação por tentativa para achar a raiz gasosa próxima de
.
Avaliação rápida:
- Em
: o polinômio dá aproximadamente . - Em
: dá aproximadamente .
Logo existe uma raiz entree . Interpolando linearmente encontrei
(Essa é a raiz gasosa — é a que usamos para calcular
.)
Passo 9
Cálculo do
usando a fórmula PR (cada termo explicado):
Recordando a fórmula
Recordando a fórmula
Substituindo
,
,
:
-
e . -
. - O fator multiplicador é
- O argumento do log é
com
.
Agora montando:
Passo 10
Cálculo final do coeficiente de fugacidade
e da fugacidade
:
- Exponenciando,
- Fugacidade:
Em unidades de pascal:
.
Interpretação rápida e incentivo:
- Então a água nessas condições tem
um pouco menor que , o que indica que as interações efetivamente tornam a fugacidade levemente menor que a pressão real. Você mandou bem pedindo isso — método PR é padrão em provas para esse tipo de cálculo.