Calcule a fugacidade e o coeficiente de fugacidade do vapor d’água a
2 MPa e 500^{\circ} \mathrm{C};

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para o vapor d’água nas condições indicadas:
  • Calcular a fugacidade f.
  • Calcular o coeficiente de fugacidade \varphi (definido por \varphi = f/P).
Informações numéricas fornecidas e conversões iniciais:
  • Pressão: P = 2\\ \mathrm{MPa} = 2{,}0\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
  • Temperatura: T = 500^{\circ}\mathrm{C} = 500 + 273{,}15 = 773{,}15\\ \mathrm{K}.
Constantes de referência (dados para a substância — água):
  • Temperatura crítica: T_c = 647{,}096\\ \mathrm{K}.
  • Pressão crítica: P_c = 22{,}064\\ \mathrm{MPa} = 22{,}064\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
  • Fator acêntrico: \omega = 0{,}344.
Constante universal dos gases (no SI):
  • R = 8{,}314462618\\ \mathrm{J\;mol^{-1}\;K^{-1}}.
Resumo objetivo: com P e T dados, vou obter \varphi e então f=\varphi P.

Passo 2

Por que método escolhi e o que vamos usar (explicação curta e didática)?
  • Precisamos de um método que dê conta do comportamento real do vapor d’água a 2\\ \mathrm{MPa} e 773{,}15\\ \mathrm{K}. A temperatura dada é maior que T_c (logo o fluido está em região supercrítica em temperatura), então o comportamento ideal pode não ser suficiente.
  • Um método eficiente e amplamente usado em provas para obter \varphi é usar uma equação de estado cúbica (por exemplo, Peng–Robinson). Ela fornece uma relação entre P,\;T,\;Z (fator de compressibilidade) e permite calcular \varphi por fórmula analítica.
  • Vou aplicar a equação de estado de Peng–Robinson (PR) e a fórmula padrão para o coeficiente de fugacidade associada a essa EOS. Vou explicar cada fórmula e cada quantidade que eu calcular.
Observação intuitiva do que é \varphi:
  • \varphi mede o quão “não-ideal” é o gás: \varphi=1 indica comportamento ideal; \varphi<1 indica atração predominante (fugacidade menor que P); \varphi>1 indica repulsão predominante.

Passo 3

Apresentação da equação de Peng–Robinson (fórmulas e parâmetros) e definição das quantidades que vamos calcular:
  • Para PR usamos os parâmetros
a = 0{,}45724\,\frac{R^{2}T_{c}^{2}}{P_{c}},\qquad b = 0{,}07780\,\frac{RT_{c}}{P_{c}}.
  • A correção de temperatura é dada por
\alpha(T) = \bigl[\,1+\kappa(1-\sqrt{T/T_{c}})\bigr]^{2},
com
\kappa = 0{,}37464 + 1{,}54226\,\omega - 0{,}26992\,\omega^{2}.
  • Define-se a(T)=a\,\alpha(T).
  • Definem-se ainda os parâmetros adimensionais
A=\frac{a(T)\,P}{R^{2}T^{2}},\qquad B=\frac{b\,P}{RT}.
  • O fator de compressibilidade Z é raiz da cúbica PR:
Z^{3}-(1-B)Z^{2} + (A-3B^{2}-2B)Z - (AB - B^{2} - B^{3}) = 0.
  • O coeficiente de fugacidade para PR é dado por
\ln\varphi = Z-1 - \ln(Z-B) - \frac{A}{2\sqrt{2}B}\,\ln\!\left(\frac{Z + (1+\sqrt{2})B}{Z + (1-\sqrt{2})B}\right).
  • Depois obtemos f = \varphi P.
Agora vamos calcular passo a passo cada um desses termos com os números.

Passo 4

Cálculo de \kappa e \alpha(T) — explico o que significam:
  • \kappa é um parâmetro empírico que depende do fator acêntrico \omega; ele ajusta a dependência de a com a temperatura.
    Cálculo numérico:
\kappa = 0{,}37464 + 1{,}54226(0{,}344) - 0{,}26992(0{,}344)^{2}.
Primeiro (0{,}344)^{2}=0{,}118336. Então
\kappa \approx 0{,}37464 + 0{,}53090 - 0{,}03193 = 0{,}87361.
Agora \sqrt{T/T_{c}} = \sqrt{773{,}15/647{,}096} \approx 1{,}0930.
Então
1-\sqrt{T/T_c} \approx -0{,}0930,
\alpha(T) = [\,1 + 0{,}87361(-0{,}0930)\,]^{2} \approx (0{,}91875)^{2} \approx 0{,}8441.

Passo 5

Cálculo de a, b e a(T) — explicando unidades e significado:
  • a tem dimensão tal que aP/(R^{2}T^{2}) seja adimensional (usamos SI).
    Cálculo:
a = 0{,}45724\frac{R^{2}T_{c}^{2}}{P_{c}}.
Com R=8{,}314462618\\ \mathrm{J/(mol\;K)}, T_{c}=647{,}096\\ \mathrm{K}, P_{c}=22{,}064\times10^{6}\\ \mathrm{Pa},
fica (efetuando as contas)
a \approx 0{,}6003\quad(\text{unidade compatível com a fórmula}).íó
Em seguida
b = 0{,}07780\frac{RT_{c}}{P_{c}} \approx 1{,}897\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{3}/mol}.
A correção de temperatura dá
a(T) = a\,\alpha(T) \approx 0{,}6003\times0{,}8441 \approx 0{,}5068.
(Observação didática: b representa um volume “excluído” por mol; a representa força de atração entre moléculas.)

Passo 6

Cálculo dos parâmetros adimensionais A e B:
  • Lembre: A=\dfrac{a(T)P}{R^{2}T^{2}} e B=\dfrac{bP}{RT}.
    Primeiro calculamos R^{2}T^{2} e RT:
R^{2}T^{2}\approx 41{,}341{,}145\quad(\text{J}^{2}\!\cdot\!\text{K}^{0}\!\cdot\!\text{mol}^{-2}), \qquad RT\approx 6{,}429{,}327\\ \mathrm{J/mol}.
Então
A \approx \frac{0{,}5068\times(2{,}0\times10^{6})}{41{,}341{,}145} \approx 0{,}02451,
B \approx \frac{1{,}897\times10^{-5}\times(2{,}0\times10^{6})}{6{,}429{,}327} \approx 0{,}005901.
Explicação: A mede a importância relativa das interações atraentes na equação adimensionalizada; B mede a importância do volume de exclusão.

Passo 7

Montagem da equação cúbica em Z (mostro os coeficientes e o porquê):
A cúbica é
Z^{3}-(1-B)Z^{2} + (A-3B^{2}-2B)Z - (AB - B^{2} - B^{3}) = 0.
Substituindo os valores numéricos:
1-B \approx 0{,}994099,
A-3B^{2}-2B \approx 0{,}024511 - 3(3{,}481\times10^{-5}) - 2(0{,}005901) \approx 0{,}0126046,
AB - B^{2} - B^{3} \approx 0{,}0001097.
Logo a cúbica vale numericamente
Z^{3} - 0{,}994099\,Z^{2} + 0{,}0126046\,Z - 0{,}0001097 = 0.

Passo 8

Solução da cúbica para obter Z (explico seleção da raiz):
  • A equação de terceiro grau pode ter 1 ou 3 raízes reais. Para condições de vapor procuramos a raiz que corresponde ao comportamento gasoso (geralmente a maior raiz real).
  • Em problemas de prova pode-se resolver numericamente por tentativa/interpolação ou usar método de Newton; aqui faço uma avaliação por tentativa para achar a raiz gasosa próxima de Z\approx1.
Avaliação rápida:
  • Em Z=1: o polinômio dá aproximadamente +0{,}018396.
  • Em Z=0{,}98: dá aproximadamente -0{,}000631.
    Logo existe uma raiz entre 0{,}98 e 1. Interpolando linearmente encontrei
Z \approx 0{,}98066.
(Essa é a raiz gasosa — é a que usamos para calcular \varphi.)

Passo 9

Cálculo do \ln\varphi usando a fórmula PR (cada termo explicado):
Recordando a fórmula
\ln\varphi = Z-1 - \ln(Z-B) - \frac{A}{2\sqrt{2}B}\,\ln\!\left(\frac{Z + (1+\sqrt{2})B}{Z + (1-\sqrt{2})B}\right).
Substituindo Z\approx0{,}98066, A\approx0{,}024511, B\approx0{,}005901:
  • Z-B \approx 0{,}974763 e \ln(Z-B)\approx -0{,}025585.
  • Z-1 \approx -0{,}019336.
  • O fator multiplicador é
\frac{A}{2\sqrt{2}B} \approx \frac{0{,}024511}{2\sqrt{2}\times0{,}005901} \approx 1{,}468.
  • O argumento do log é
\frac{Z + (1+\sqrt{2})B}{Z + (1-\sqrt{2})B} \approx \frac{0{,}994911}{0{,}978220} \approx 1{,}017473,
com \ln(\text{razão})\approx 0{,}017324ã.
Agora montando:
\ln\varphi \approx (-0{,}019336) - (-0{,}025585) - 1{,}468\times0{,}017324
\ln\varphi \approx 0{,}006249 - 0{,}025430 \approx -0{,}019181.

Passo 10

Cálculo final do coeficiente de fugacidade \varphi e da fugacidade f:
  • Exponenciando,
\varphi = e^{\ln\varphi} \approx e^{-0{,}019181} \approx 0{,}9810.
  • Fugacidade:
f = \varphi\,P \approx 0{,}9810\times 2{,}0\\ \mathrm{MPa} \approx 1{,}962\\ \mathrm{MPa}.
Em unidades de pascal: f \approx 1{,}962\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
Interpretação rápida e incentivo:
  • Então a água nessas condições tem \varphi um pouco menor que 1, o que indica que as interações efetivamente tornam a fugacidade levemente menor que a pressão real. Você mandou bem pedindo isso — método PR é padrão em provas para esse tipo de cálculo.

Resposta

\varphi \approx 0{,}9810
f \approx 1{,}962\\ \mathrm{MPa}

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