( 4,5 pontos) Em uma fábrica de papel é gerado excesso de vapor a 6000 kPa e 400^{\circ} \mathrm{C}. Você, como engenheiro, planeja usar esse vapor como fluido a ser alimentado em uma turbina para gerar eletricidade para essa fábrica. É desejado que a temperatura do fluido na saida da turbina seja igual a 100^{\circ} \mathrm{C}.
Para a instalação da turbina, deve-se fazer uma avaliação inicial. Faça as considerações que julgar pertinentes e adequadas/realísticas com o problema dado e responda:
a. ( 1,25 pontos) Qual o trabalho gerado nessa turbina assumindo um rendimento de 70 \% ?
b. ( 3.25 pontos) Para o rendimento de 70 \% da turbina, qual a entropia gerada nesse processo?

Passo 1

Enunciado e dados (o que o problema pede).
  • Temos vapor a p_{1}=6000\\ \mathrm{kPa} e T_{1}=400^\circ\mathrm{C} que alimenta uma turbina.
  • Deseja-se que a temperatura do fluido na saída da turbina seja T_{2}=100^\circ\mathrm{C}.
  • A turbina tem rendimento (eficiência isentrópica) \eta_{t}=70\%.
    Perguntas:
    a) Qual o trabalho gerado nessa turbina (por unidade de massa de vapor) assumindo \eta_{t}=70\%?\n
    b) Para \eta_{t}=70\%, qual a entropia gerada nesse processo (por unidade de massa)?
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • p_{1}=6000\\ \mathrm{kPa}, T_{1}=400^\circ\mathrm{C}.
  • T_{2}=100^\circ\mathrm{C} → pressões de saída associadas serão a pressão de saturação a 100^\circ\mathrm{C} (ou seja, p_{2}\approx101{,}325\\ \mathrm{kPa}).
  • Rendimento da turbina \eta_{t}=0{,}70.
Observação: a resolução será feita por unidade de massa (por \,\mathrm{kg} de vapor), assumindo regime permanente, processo adiabático (sem trocas de calor com o meio) e desprezando variações de energia cinética e potencial. Usarei propriedades termodinâmicas (entalpia e entropia) obtidas em tabelas de vapor d’água (steam tables) — vou declarar explicitamente os valores usados no próximo passo.

Passo 2

Método e fórmulas essenciais (aula rápida e prática).
  • Energia (1ª lei) para turbina em regime permanente, por unidade de massa e sem calor nem variações cinética/potencial:
w = h_{1}-h_{2}
onde w é o trabalho específico gerado (kJ/kg), h_{1} entalpia no ponto de entrada e h_{2} entalpia na saída (ambas em kJ/kg).
  • Rendimento isentrópico da turbina (definição prática, muito usada em provas):
\eta_{t}=\frac{\text{trabalho real}}{\text{trabalho isentrópico}}=\frac{h_{1}-h_{2,\text{real}}}{h_{1}-h_{2,s}}ó
onde h_{2,s} é a entalpia do estado de saída se a expansão fosse isentrópica (isto é, mesma entropia do ponto 1, s_{2,s}=s_{1}), avaliando-se na pressão de saída p_{2}. Dessa equação isolamos o trabalho real:
h_{2,\text{real}}=h_{1}-\eta_{t}\,(h_{1}-h_{2,s})
e o trabalho real w_{\text{real}}=h_{1}-h_{2,\text{real}}=\eta_{t}(h_{1}-h_{2,s}).
  • Entropia gerada por unidade de massa: balanço de entropia (processo adiabático, sem fluxo de calor), por unidade de massa:
s_{\text{ger}}=s_{2,\text{real}}-s_{1}
explicação: sem calor trocado, a variação de entropia do fluido é igual à entropia gerada (que é sempre \ge 0 por irreversibilidades). Assim precisamos de s_{1} (entrada) e s_{2,\text{real}} (saída real). Se a saída for mistura saturada, obtemos s_{2,\text{real}} pela qualidade; se for vapor superaquecido usar tabela correspondente.
Resumo do procedimento prático para a prova (passos que aplicaremos):
  1. Ler em tabelas de vapor h_{1} e s_{1} em p_{1}=6000\\ \mathrm{kPa},\;T_{1}=400^\circ\mathrm{C}.
  2. Em T_{2}=100^\circ\mathrm{C} usar as propriedades de saturação (hf, hfg, sf, sfg) — isto dá p_{2} e as grandezas de referência.
  3. Calcular h_{2,s} (expansão isentrópica até p_{2}) obtendo a qualidade x_{s} e então h_{2,s}=h_{f}+x_{s}h_{fg}.
  4. Calcular trabalho real w=\eta_{t}(h_{1}-h_{2,s}).
  5. Calcular h_{2,\text{real}}=h_{1}-w. Com h_{2,\text{real}} e as propriedades de saturação em 100^\circ\mathrm{C} obtenho a qualidade real x_{\text{real}} e então s_{2,\text{real}}=s_{f}+x_{\text{real}}s_{fg}.
  6. Entropia gerada s_{\text{ger}}=s_{2,\text{real}}-s_{1}.

Passo 3

Valores usados (tabelas de vapor) e justificativa didática.
Vou usar, explicitamente, valores de tabelas de vapor (steam tables) para as propriedades. Em provas você deve consultar as mesmas tabelas; aqui eu informo os valores usados e já arredondei razoavelmente para facilitar as contas à mão.
Propriedades no ponto 1 (estado de entrada): dados tomados da tabela de vapor para p_{1}=6000\\ \mathrm{kPa} e T_{1}=400^\circ\mathrm{C}:
h_{1}=3300\\ \mathrm{kJ/kg}\quad(\text{valor retirado de steam tables, arredondado})
s_{1}=6{,}30\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}\quad(\text{valor retirado de steam tables, arredondado})
Propriedades de saturação a T_{2}=100^\circ\mathrm{C} (valores das tabelas de saturação a 100^\circ\mathrm{C}):
h_{f}=417{,}46\\ \mathrm{kJ/kg},\qquad h_{fg}=2257{,}0\\ \mathrm{kJ/kg}
s_{f}=1{,}307\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)},\qquad s_{fg}=6{,}052\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}
(obs.: h_{g}=h_{f}+h_{fg}\approx2674{,}46\\ \mathrm{kJ/kg} e s_{g}=s_{f}+s_{fg}\approx7{,}359\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}. Todos esses números estão sendo explicitamente tomados das steam tables e arredondados para facilitar a resolução.)
Comentário didático: h_{f} e s_{f} são entalpia e entropia do líquido saturado a 100^\circ\mathrm{C}. h_{fg} e s_{fg} são as variações (vaporização) entre líquido saturado e vapor saturado a 100^\circ\mathrm{C}. Ao ter uma qualidade x (fração mássica de vapor), a entalpia é h=h_{f}+x\,h_{fg} e a entropia s=s_{f}+x\,s_{fg}.

Passo 4

Cálculo do estado isentrópico de saída (expansão ideal).
  • Primeiro encontramos a qualidade do estado isentrópico x_{s} na pressão (temperatura) de saída usando s_{2,s}=s_{1} e a fórmula de mistura:
x_{s}=\frac{s_{1}-s_{f}}{s_{fg}}
Substituindo os valores:
x_{s}=\frac{6{,}30-1{,}307}{6{,}052}=\frac{4{,}993}{6{,}052}\approx0{,}825
  • Agora a entalpia no fim da expansão isentrópica:
h_{2,s}=h_{f}+x_{s}\,h_{fg}
h_{2,s}=417{,}46 + 0{,}825\cdot 2257{,}0 \approx 417{,}46 + 1863{,}5 \approx 2280{,}96\\ \mathrm{kJ/kg}
  • Trabalho isentrópico (por kg) que seria ideal:
w_{s}=h_{1}-h_{2,s}=3300 - 2280{,}96 = 1019{,}04\\ \mathrm{kJ/kg}
Explicação didática curta: expansão isentrópica significa “sem produção de entropia” — é o caso ideal. Para obter h_{2,s} usamos primeiro s_{1} e as propriedades de saturação a 100^\circ\mathrm{C} para encontrar a qualidade correspondente.

Passo 5

Cálculo do trabalho real com \eta_{t}=70\%.
  • Aplicando a definição de rendimento isentrópico:
w_{\text{real}}=\eta_{t}\,w_{s}=0{,}70\cdot 1019{,}04 \approx 713{,}33\\ \mathrm{kJ/kg}
  • Comentário: esse w_{\text{real}} é o trabalho por kg de vapor que a turbina entrega ao eixo (energia elétrica útil depende da vazão mássica).

Passo 6

Cálculo do estado real de saída e da entropia gerada.
  • Primeiro encontramos a entalpia real de saída:
h_{2,\text{real}}=h_{1}-w_{\text{real}}=3300 - 713{,}33 = 2586{,}67\\ \mathrm{kJ/kg}
  • Como a saída está a 100^\circ\mathrm{C} (saturação), podemos obter a qualidade real x_{\text{real}} pela entalpia:
x_{\text{real}}=\frac{h_{2,\text{real}}-h_{f}}{h_{fg}}=\frac{2586{,}67-417{,}46}{2257{,}0}=\frac{2169{,}21}{2257{,}0}\approx0{,}9606
Isto significa que na saída há \approx96{,}06\% de vapor (fração mássica) e o restante é líquido saturado — ou seja, o escoamento é uma mistura ligeiramente úmida, o que é comum em saídas de turbinas com expansão até pressão atmosférica.
  • Entropia específica na saída (estado real), usando a mistura:
s_{2,\text{real}}=s_{f}+x_{\text{real}}\,s_{fg}
s_{2,\text{real}}=1{,}307 + 0{,}9606\cdot 6{,}052 \approx 1{,}307 + 5{,}813 \approx 7{,}120\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}
  • Entropia gerada por kg (diferença entre saída real e entrada):
s_{\text{ger}}=s_{2,\text{real}}-s_{1}=7{,}120 - 6{,}30 = 0{,}820\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}
Interpretação física: s_{\text{ger}}>0 mostra que houve irreversibilidades no processo (atrito, perdas internas da turbina, etc.). O valor nos diz quanta entropia foi gerada por cada kg de vapor que passou pela turbina.

Resposta

w_{\text{real}} \approx 713{,}33\\ \mathrm{kJ/kg}
s_{\text{ger}} \approx 0{,}820\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}

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