1-Um mol de um gás ideal com \mathrm{C}_{p, \mathrm{~m}}=5 / 2 \mathrm{R} é aquecido irreversivelmente em uma pressão constante de 1 atm de 273 K para 373 K .
a. Calcule o trabalho envolvido no processo.
b. Se o gás fosse expandido isotermicamente e reversivelmente em 273 K de uma pressão inicial de 1 atm , qual deveria ser a Pressão final para que o trabalho fosse igual ao calculado no item a? Calcule o Volume final.

Passo 1

Listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados que peguei do enunciado:
    • Quantidade de substância: n=1\\ \text{mol}.
    • Capacidade calorífica molar a pressão constante: C_{p,\mathrm{m}}=\dfrac{5}{2}R.
    • Pressão externa constante no processo irreversível: P_{\text{ext}}=1\\ \text{atm}.
    • Temperaturas: temperatura inicial T_{1}=273\\ \text{K} e final T_{2}=373\\ \text{K}.
  • Constantes úteis que vou usar:
    • Constante dos gases ideais: R=0,082057\\ \text{L·atm·mol}^{-1}\text{K}^{-1}.
    • Conversão: 1\\ \text{L·atm}=101{,}325\\ \text{J}.
  • O enunciado pede:
    (a) Calcular o trabalho envolvido no aquecimento irreversível a pressão constante 1\\ \text{atm} de 273\\ \text{K} para 373\\ \text{K}.
    (b) Se, em vez disso, o gás for expandido isotermicamente e reversivelmente a 273\\ \text{K} a partir de pressão inicial 1\\ \text{atm}, determinar a pressão final para que o trabalho nessa expansão reversível seja igual ao trabalho do item (a); e calcular o volume final correspondente.

Passo 2

Encontrar os volumes inicial e final no item (a) usando a equação dos gases ideais.
A equação dos gases ideais é
PV=nRT,
onde:
  • P é a pressão (unidade compatível com R),
  • V é o volume,
  • n é o número de mols,
  • R é a constante dos gases ideais,
  • T é a temperatura absoluta.
Calcular o volume inicial V_{1} em L com P=1\\ \text{atm} e T_{1}=273\\ \text{K}:
V_{1}=\dfrac{nRT_{1}}{P}=\dfrac{1\cdot 0,082057\cdot 273}{1}=22{,}414\\ \text{L}.
Calcular o volume que o gás teria se aquecido até T_{2}=373\\ \text{K} mantendo a pressão 1\\ \text{atm} (esse é o V_{2} do processo a pressão constante):
V_{2}=\dfrac{nRT_{2}}{P}=\dfrac{1\cdot 0,082057\cdot 373}{1}=30{,}617\\ \text{L}.
Volume variação:
\Delta V=V_{2}-V_{1}=30{,}617-22{,}414=8{,}203\\ \text{L}.

Passo 3

Calcular o trabalho do processo irreversível a pressão constante e explicar convenções de sinal.
Quando um gás se expande contra uma pressão constante externa P_{\text{ext}}, o trabalho realizado pelo gás (trabalho “pelo sistema”) é
W_{\text{by}}=\int_{V_{1}}^{V_{2}}P_{\text{ext}}\,dV = P_{\text{ext}}(V_{2}-V_{1})=P_{\text{ext}}\Delta V.
Observação sobre sinal: muitos livros de termodinâmica usam W como o trabalho realizado pelo sistema (positivo se o sistema realiza trabalho sobre o entorno). Em química/algumas convenções usa-se w=-P_{\text{ext}}\Delta V (trabalho sobre o sistema). Aqui vou calcular o trabalho realizado pelo gás W_{\text{by}} e também dar o valor com a outra convenção se preferir.
Calcular em unidades L·atm:
W_{\text{by}}=P_{\text{ext}}\Delta V = 1\\ \text{atm}\times 8{,}203\\ \text{L}=8{,}203\\ \text{L·atm}.
Converter para joules usando 1\\ \text{L·atm}=101{,}325\\ \text{J}:
W_{\text{by}}=8{,}203\times 101{,}325=831{,}4\\ \text{J}\quad(\text{aprox.}).
Portanto:
  • Trabalho realizado pelo gás: W_{\text{by}}=831{,}4\\ \text{J}.
  • Se usar a convenção w (trabalho do ponto de vista do sistema, negativo quando o sistema perde energia por trabalho), então w=-831{,}4\\ \text{J}.
Uma verificação rápida (consistência com calor): para gás ideal monatomic C_{p,\mathrm{m}}=5/2\,R e C_{v,\mathrm{m}}=C_{p,\mathrm{m}}-R=3/2\,R. A variação de energia interna é \Delta U=nC_{v,\mathrm{m}}\Delta T=1\cdot\tfrac{3}{2}R(100)=1{,}5\cdot 8{,}314\cdot100\approx1247\\ \text{J}. O calor adicionado em pressão constante é Q=nC_{p,\mathrm{m}}\Delta T=1\cdot\tfrac{5}{2}R(100)\approx2078\\ \text{J}. Pela primeira lei Q=\Delta U+W_{\text{by}} -> 2078\approx1247+831, consistente.

Passo 4

Encontrar, para a expansão isotérmica reversível a T=273\\ \text{K}, a pressão final tal que o trabalho reversível seja igual ao trabalho do item (a); depois calcular o volume final.
Para uma expansão isotérmica reversível de um gás ideal, a pressão do gás a cada instante é P(V)=\dfrac{nRT}{V}. O trabalho reversível realizado pelo gás é
W_{\text{rev}}=\int_{V_{i}}^{V_{f}}P(V)\,dV=\int_{V_{i}}^{V_{f}}\dfrac{nRT}{V}\,dV=nRT\ln\!\left(\dfrac{V_{f}}{V_{i}}\right).
Também podemos usar a relação entre volumes e pressões para processo isotérmico:
\dfrac{V_{f}}{V_{i}}=\dfrac{P_{i}}{P_{f}}.
Então
W_{\text{rev}}=nRT\ln\!\left(\dfrac{P_{i}}{P_{f}}\right).
Queremos W_{\text{rev}}=W_{\text{by}}(\text{do item (a)}). Trabalhando em unidades L·atm (mais simples porque nRT tem valor direto em L·atm):
  • Calcular nRT a T=273\\ \text{K}:
nRT=1\cdot 0,082057\cdot 273=22{,}414\\ \text{L·atm}.
  • Igualar:
22{,}414\ln\!\left(\dfrac{P_{i}}{P_{f}}\right)=8{,}203.
  • Isolar o logaritmo:
\ln\!\left(\dfrac{P_{i}}{P_{f}}\right)=\dfrac{8{,}203}{22{,}414}=0{,}3659\\ (\text{aprox.}).
  • Exponenciando:
\dfrac{P_{i}}{P_{f}}=e^{0{,}3659}=1{,}441\quad\Rightarrow\quad P_{f}=\dfrac{P_{i}}{1{,}441}.
Como P_{i}=1\\ \text{atm},
P_{f}=0{,}694\\ \text{atm}\quad(\text{aprox.}).
Agora o volume final V_{f}. Pode usar V_{f}=nRT/P_{f} ou V_{f}=V_{i}\, (P_{i}/P_{f}). Usando V_{i}=22{,}414\\ \text{L} e P_{i}/P_{f}=1{,}441,
V_{f}=22{,}414\times 1{,}441=32{,}31\\ \text{L}\quad(\text{aprox.}).
Verificação rápida do trabalho reversível em J:
W_{\text{rev}}=8{,}203\\ \text{L·atm}\times 101{,}325\\ \dfrac{\text{J}}{\text{L·atm}}=831{,}4\\ \text{J},
igual ao trabalho calculado no item (a), como desejado.

Passo 5

Resumo e interpretação breve (para decorar e aplicar na prova):
  • Para um aquecimento à pressão constante contra P_{\text{ext}} fixo, o trabalho é simplesmente W_{\text{by}}=P_{\text{ext}}\Delta V. Use a equação dos gases ideais para achar volumes antes e depois.
  • Para uma expansão isotérmica reversível, use W_{\text{rev}}=nRT\ln(V_{f}/V_{i}) ou nRT\ln(P_{i}/P_{f}). Lembre que a integral vem de \int nRT/V\,dV.
  • Atenção ao sinal: especifique se quer o trabalho realizado pelo gás (positivo aqui) ou o trabalho no sistema (negativo no sinal químico). Isso costuma confundir, então deixe explícito na sua resposta.

Resposta

(a) Trabalho realizado pelo gás: W_{\text{by}}=831{,}4\\ \text{J} (equivalente a 8{,}203\\ \text{L·atm}).
(b) Pressão final: P_{f}=0{,}694\\ \text{atm}.
(b) Volume final: V_{f}=32{,}31\\ \text{L}.

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