Calcule a temperatura da superfície isolada em t=2 h numa placa de espessura L=10 cm, difusividade térmica alpha=10^-6 m^2 / s e condutividade térmica k=1 W / m ^circ C admitindo T0=200 ^circ C e g0 =10^8 W / m^3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a temperatura na superfície isolada de uma placa depois de 2 horas. A gente vai usar conceitos de condução de calor, especificamente a equação da difusão térmica. Para resolver, precisamos dos dados: espessura $ L = 10 , cm $, difusividade térmica $ \alpha = 10^{-6} , m^2/s $, condutividade térmica $ k = 1 , W/m \cdot {}^\circC $, temperatura inicial $ T_0 = 200 , {}^\circC $, geração de calor $ g_0 = 10^8 , W/m^3 $ e tempo $ t = 2 , h $.

Passo 2

Primeiro, vamos converter o tempo para segundos, já que a difusividade térmica está em segundos:
t = 2 , h times 3600 , sh = 7200 , s

Passo 3

A equação da difusão térmica com geração de calor é dada por:
partial Tpartial t = alpha partial^2 Tpartial x^2 + g0rho cp
Como a placa está isolada na superfície, a condição de contorno em $ x = 0 $ é que o fluxo de calor seja zero:
x = 0

Passo 4

Para uma solução simplificada, assumimos que a geração de calor leva a um aumento linear da temperatura com o tempo, já que a difusão está atuando de forma equilibrada. A temperatura na superfície pode então ser calculada como:
T(0,t) = T0 + g0 L^22k (1 - e^-alpha t)
Essa fórmula considera o equilíbrio entre a geração de calor e a condução térmica.

Passo 5

Agora, substituímos os valores na fórmula:
T(0,7200) = 200 + 10^8 times (0.10)^22 times 1 (1 - e^-10^-6 times 7200)
Calculando passo a passo:
0.10^2 = 0.01 , m^2
10^8 times 0.012 = 5 times 10^5 , ^circC
alpha t = 10^-6 times 7200 = 0.0072
e^-0.0072 approx 0.9928
1 - 0.9928 = 0.0072
Multiplicando:
5 times 10^5 times 0.0072 = 3600 , ^circC
Somando à temperatura inicial:
200 + 3600 = 3800 , ^circC

Resposta

A temperatura da superfície isolada após 2 horas é aproximadamente $ 3800 , {}^\circC $.

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