7- Calcule o trabalho feito por 1,25 mols de gás ideal se o mesmo se resfria reversivelmente a um volume constante de 5 L de 298 K para 200 K em seguida se expande reversivelmente de 5,0 \mathrm{~L} para 10 L á temperatura constante de 200 K , e finalmente é aquecido reversivelmente a volume constante de 10 L de 200 K até 298 K . Represente o processo em um gráfico \mathrm{P} \times \mathrm{V}.

Passo 1

O enunciado trata de 1,25 mol de um gás ideal que passa por três etapas reversíveis:
– Resfriamento isocórico a V=5{,}0,L de T=298,K até T=200,K.
– Expansão isotérmica a T=200,K de V=5{,}0,L até V=10,L.
– Aquecimento isocórico a V=10,L de T=200,K até T=298,K.
Queremos o trabalho total W=\int P\,dV. Como é gás ideal, usamos P\,V=n\,R\,T.

Passo 2

Em isocórico dV=0, logo
\;W_{\rm isocórico}=0.ó
Em isotérmico a T constante:
W_{\rm isotérmico} =\int_{V_i}^{V_f}P\,dV =\int_{V_i}^{V_f}\frac{n\,R\,T}{V}\,dV =n\,R\,T\ln\frac{V_f}{V_i}.é
Portanto só a etapa 2 contribui para W_{\rm total}.

Passo 3

Na expansão isotérmica temos
W = n\,R\,T\ln\frac{V_f}{V_i} = (1,25)\,(8,314)\,(200)\,\ln\!\biggl(\frac{10}{5}\biggr).

Passo 4

Calculemos passo a passo:
n\,R\,T = 1{,}25 \times 8{,}314 \times 200 = 2\,078{,}5\\ {\rm J}, \quad \ln\!\bigl(2\bigr)=0{,}6931.
Logo
W =2\,078{,}5\times0{,}6931 \approx1\,440\\ {\rm J}.
As outras etapas são isocóricas, então
W_{\rm total}=1\,440\\ {\rm J}.

Passo 5

Gráfico esquemático P\times V (eixo vertical P, horizontal V):
 P
 │ D
 │ · ← aquecimento isocórico V\(=10\)
 │ │
 │ A · ← T\(=298\), V\(=5\)
 │ │ │
 │ B───C ← expansão isotérmica T\(=200\)
 │ \(\cdot\cdot\)
 └───────────────── V
\[510\]
A→B: vertical para baixo (isochoric 298\to 200 K em V =5 L)
B→C: curva de hipérbole (isotérmico 200 K, V =5\to 10 L)
C→D: vertical para cima (isochoric 200\to 298 K em V =10 L)

Resposta

W_{\rm total}\approx1\,440\\ {\rm J}.

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