Calcule a umidade relativa final do ar de um determinado compressor que opera a 550 KPa , trabalhando a pressão normal, temperatura interna inicial de 25^{\circ} \mathrm{C} e umidade relativa de 60 \%. Considere que após o processo de compressão o ar comprimido circula por uma serpentina de resfriamento e atinge a temperatura final de 45^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede. Dados fornecidos:
  • Pressão final do compressor: p_2 = 550\\ \mathrm{kPa}. (Há ambiguidade se esse valor é pressão absoluta ou manométrica; aqui vou assumir 550\\ \mathrm{kPa} como pressão absoluta. Se fosse manométrica, a pressão absoluta seria ainda maior e o resultado qualitativo não muda: haveria mais chance de condensação.)
  • Pressão inicial (pressão normal): p_1 = 101,325\\ \mathrm{kPa}.
  • Temperatura inicial do ar: T_1 = 25^\circ\mathrm{C}.
  • Umidade relativa inicial: \phi_1 = 60\% = 0,60.
  • Após compressão e resfriamento, temperatura final do ar: T_2 = 45^\circ\mathrm{C}.
O que o enunciado pede:
  • Calcular a umidade relativa final do ar na condição p_2 e T_2.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação didática):
  • A umidade relativa \varphi é a razão entre a pressão parcial do vapor d’água no ar e a pressão de saturação do vapor d’água àquela temperatura:
\varphi = \frac{e}{e_s(T)}
onde e é a pressão parcial do vapor d’água e e_s(T) é a pressão de vapor saturado à temperatura T.
  • Pela lei de Dalton, a pressão parcial do vapor é proporcional à sua fração molar x_v vezes a pressão total:
e = x_v\, p.
  • Se não houver remoção de vapor (sem secagem) durante a compressão, a fração molar do vapor d’água x_v permanece a mesma entre o estado inicial e o estado comprimido. Assim, podemos obter a pressão parcial no estado final usando:
e_2 = x_v\, p_2 = \frac{e_1}{p_1}\, p_2 = e_1\frac{p_2}{p_1},
onde e_1 é a pressão parcial inicial do vapor (na condição T_1,p_1).
  • Se na condição final e_2 calculada exceder e_s(T_2), então ocorrerá condensação e o vapor final estará limitado a e_s(T_2); nesse caso a umidade relativa final \phi_2 será 100\%.

Passo 3

Valores de pressão de saturação do vapor d’água (consultados em tabela de vapor):
  • Para T_1 = 25^\circ\mathrm{C} temos e_s(25^\circ\mathrm{C}) = 3,169\\ \mathrm{kPa}.
  • Para T_2 = 45^\circ\mathrm{C} temos e_s(45^\circ\mathrm{C}) = 9,585\\ \mathrm{kPa}.
(Estes valores são retirados de tabelas padrão de pressão de vapor saturado da água.)

Passo 4

Calcular a pressão parcial inicial do vapor e_1:
e_1 = \phi_1\, e_s(25^\circ\mathrm{C}) = 0,60 \times 3,169\\ \mathrm{kPa} = 1,9014\\ \mathrm{kPa}.

Passo 5

Calcular a fração molar do vapor x_v no estado inicial (usando p_1):
x_v = \frac{e_1}{p_1} = \frac{1,9014}{101,325} \approx 0,01877.

Passo 6

Calcular a pressão parcial do vapor após compressão (antes de qualquer condensação), usando p_2:
e_2 = x_v\, p_2 = 0,01877 \times 550\\ \mathrm{kPa} \approx 10,33\\ \mathrm{kPa}.
(Alternativamente e_2 = e_1\frac{p_2}{p_1} = 1,9014\times\frac{550}{101,325}\approx 10,33\\ \mathrm{kPa}.)

Passo 7

Comparar e_2 com a pressão de saturação em T_2:
e_s(45^\circ\mathrm{C}) = 9,585\\ \mathrm{kPa}.
Como e_2 \approx 10,33\\ \mathrm{kPa} > 9,585\\ \mathrm{kPa}, o vapor excede o valor de saturação à 45^\circ\mathrm{C}. Portanto ocorrerá condensação até que a pressão parcial do vapor caia para e_s(45^\circ\mathrm{C}). Assim o ar ficará saturado na saída da serpentina, ou seja, a umidade relativa final é 100\%.

Passo 8

Observações finais e interpretação prática:
  • Conclusão física: o ar comprimido traz mais vapor (pela compressão) do que cabe em vapor à 45^\circ\mathrm{C}, então parte do vapor condensa (formando água líquida) e o ar sai saturado.
  • Nota sobre a ambiguidade da pressão: se 550\\ \mathrm{kPa} fosse manométrica (ou seja, pressão acima da atmosférica), a pressão absoluta seria ainda maior e o excesso de vapor seria maior, portanto também haveria condensação e a umidade relativa final continuaria sendo 100\%.

Resposta

Umidade relativa final = 100\% (ar saturado; ocorre condensação).

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