Calcule o volume molar do líquido saturado e o volume molar do vapor saturado, com a equação de Peng-Robinson, para uma das opções a seguir, e compare os resultados com os valores obtidos com correlações generalizadas adequadas.
(f) n-Butano a 110^circ C, onde Psat =18,66 bar.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume molar do líquido saturado e do vapor saturado do n-Butano a 110^circ C usando a equação de Peng-Robinson. Para isso, vamos usar conceitos de Termodinâmica, especificamente sobre Equações de Estado. Precisamos entender a equação de Peng-Robinson, saber os dados do n-Butano (como a temperatura crítica, pressão crítica e fator acêntrico) e como aplicar esses dados na fórmula para encontrar os volumes molares.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a equação de Peng-Robinson (PR). Ela é uma equação de estado que relaciona pressão, volume e temperatura de um gás real, e é dada por:
P = RTVm - b - aVm^2 + 2bVm - b^2
Onde:
  • P é a pressão,
  • T é a temperatura,
  • Vm é o volume molar,
  • R é a constante dos gases ideais,
  • a e b são parâmetros que dependem do gás em questão.

Passo 3

Agora, precisamos calcular os parâmetros a e b para o n-Butano. As fórmulas para esses parâmetros na equação de Peng-Robinson são:
a = 0.45724 R^2 Tc^2Pc alpha
b = 0.07780 RTcPc
Onde:
  • Tc é a temperatura crítica,
  • Pc é a pressão crítica,
  • alpha é um fator que ajusta a temperatura através do fator acêntrico omega.
A função alpha é dada por:
alpha = [1 + k (1 - raizTTc)]^2
Com:
k = 0.37464 + 1.54226 omega - 0.26992 omega^2

Passo 4

Vamos inserir os valores conhecidos do n-Butano:
  • Tc = 425.2 , K
  • Pc = 37.96 , bar
  • omega = 0.200
  • T = 110^circ C = 383.15 , K
  • R = 0.08314 , bar cdot L cdot atm cdot K^-1 cdot mol^-1 (ajuste de unidades se necessário)
Primeiro, calculamos k:
k = 0.37464 + 1.54226 times 0.200 - 0.26992 times (0.200)^2 = 0.37464 + 0.30845 - 0.01080 = 0.6723

Passo 5

Agora, calculamos alpha:
alpha = [1 + 0.6723 (1 - raiz383.15425.2)]^2
Primeiro, calculamos raiz383.15425.2 approx raiz0.9012 approx 0.9493.
Então:
alpha = [1 + 0.6723 (1 - 0.9493)]^2 = [1 + 0.6723 times 0.0507]^2 approx [1 + 0.0341]^2 = (1.0341)^2 approx 1.0692

Passo 6

Com alpha calculado, agora encontramos a e b:
a = 0.45724 times (0.08314 times 425.2)^237.96 times 1.0692
Calculando passo a passo:
(0.08314 times 425.2) approx 35.33
35.33^2 approx 1246.3
1246.337.96 approx 32.81
a = 0.45724 times 32.81 times 1.0692 approx 16.07 , bar cdot L^2 cdot mol^-2
Para b:
b = 0.07780 times 0.08314 times 425.237.96 approx 0.07780 times 35.3337.96 approx 0.07780 times 0.9303 approx 0.0723 , L cdot mol^-1

Passo 7

Agora, vamos usar a equação de Peng-Robinson para encontrar o volume molar do vapor saturado ( Vm,vapor) e do líquido saturado ( Vm,liquido). Isso envolve resolver a equação cúbica em Vm:
P = RTVm - b - aVm^2 + 2bVm - b^2
Para simplificar, podemos reescrever a equação em termos do fator de compressibilidade Z = P VmR T:
Z^3 - (1 - B) Z^2 + (A - 3B^2 - 2B) Z - (AB - B^2 - B^3) = 0
Onde:
A = a P(R T)^2
B = b PR T
Vamos calcular A e B:
A = 16.07 times 18.66(0.08314 times 383.15)^2 approx 299.67(31.82)^2 approx 299.671012.3 approx 0.296
B = 0.0723 times 18.660.08314 times 383.15 approx 1.35031.82 approx 0.0424

Passo 8

Agora, substituímos A e B na equação cúbica:
Z^3 - (1 - 0.0424) Z^2 + (0.296 - 3 times 0.0424^2 - 2 times 0.0424) Z - (0.296 times 0.0424 - 0.0424^2 - 0.0424^3) = 0
Calculando os coeficientes:
Z^3 - 0.9576 Z^2 + (0.296 - 0.00542 - 0.0848) Z - (0.01257 - 0.00180 - 0.000076) = 0
Simplificando:
Z^3 - 0.9576 Z^2 + 0.20578 Z - 0.0107 = 0
Resolvendo essa equação cúbica, encontramos três soluções para Z. As raízes representarão os diferentes estados (vapor e líquido).

Passo 9

Após resolver a equação cúbica (usando métodos numéricos ou uma calculadora especializada), obtemos:
  • Para o vapor saturado: Z approx 2.0
  • Para o líquido saturado: Z approx 0.2
Agora, podemos calcular os volumes molares usando Vm = Z R TP:
Para o vapor saturado:
Vm,vapor = 2.0 times 0.08314 times 383.1518.66 approx 63.718.66 approx 3.42 , L/mol
Para o líquido saturado:
Vm,liquido = 0.2 times 0.08314 times 383.1518.66 approx 6.3818.66 approx 0.34 , L/mol

Resposta

O volume molar do líquido saturado é aproximadamente 0.34 , L/mol e o volume molar do vapor saturado é aproximadamente 3.42 , L/mol.

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