Determine uma equação para a fugacidade e outra para o coeficiente de fugacidade, utilizando a equação de estado apresentada abaixo:
Passo 1
O que o problema pede: determinar uma equação para a fugacidade e outra para o coeficiente de fugacidade para a substância descrita pela equação de estado fornecida.
Informações dadas pelo enunciado:
Aqui,
é a pressão,
é o volume molar,
é a constante dos gases ideais e
é a temperatura. A equação de estado fornece o fator de compressibilidade
em função de
.
O objetivo explícito: obter uma expressão para a fugacidade
(em função de
,
e constantes) e para o coeficiente de fugacidade
(definido por
), utilizando a equação de estado acima.
Passo 2
Conceito e relação básica que vamos usar (explicando por que ela vale): para uma substância pura, em condição isotérmica, existe a relação termodinâmica padrão entre fugacidade e o fator de compressibilidade:
O que isso significa, em palavras simples: a diferença entre o comportamento real e o ideal (medida por
) integrada sobre pressão determina quanto a fugacidade se afasta da pressão ideal
. A integral é tomada desde o gás ideal (pressão nula), onde
e
, até a pressão
de interesse — isso fixa a constante de integração.
Breve justificativa matemática (sem pular etapas importantes):
- Para uma substância pura e isotérmica, o potencial químico
satisfaz . - Dividindo por
e lembrando obtemos . - Subtraindo a contribuição do gás ideal
leva à expressão para o resíduo e portanto à integral acima.
(Se isso parece meio abstrato, pense que estamos comparando a energia química real com a do gás ideal; o resultado direto é a fórmula integral que usamos.)
Passo 3
Identificar
a partir da equação dada: pela própria definição,
Pela equação do enunciado temos então, para todo
,
Esclarecendo: usei a informação do enunciado
para escrever
explicitamente em função de
.
Passo 4
Montar o integrando
que aparece na fórmula da fugacidade:
logo
Expliquei cada passo: subtrair 1 de
elimina o termo constante “1” e deixa o termo dependente de
; dividir por
simplifica para um termo linear em
.
Passo 5
Calcular a integral da relação fundamental:
Agora integramos passo a passo: a integral de
é
, então
Logo obtemos a relação:
Observe que usei o limite inferior
e superior
; no ponto
o integrando é zero e a integral é bem definida.
Passo 6
Isolar
e obter o coeficiente de fugacidade
. Exponenciando ambos os lados da igualdade do Passo 5:
Multiplicando por
obtemos a fugacidade:
E o coeficiente de fugacidade
é simplesmente
, portanto
Passo 7
Verificações rápidas e intuição (para você se animar): quando
temos
porque
, o que é consistente — em baixa pressão o gás se comporta como ideal. Para pressões maiores o expoente é negativo, então
e a fugacidade
é menor que
— isto indica que o real “se afasta” do ideal na direção que a EOS especifica. Se quiser, numa prova você pode também apresentar a expansão de Taylor: para pressões pequenas
, o que dá uma ideia do desvio de ordem
.