Determine uma equação para a fugacidade e outra para o coeficiente de fugacidade, utilizando a equação de estado apresentada abaixo:
\frac{P v}{R T}=\left(1-0,25 P^{2}\right)

Passo 1

O que o problema pede: determinar uma equação para a fugacidade e outra para o coeficiente de fugacidade para a substância descrita pela equação de estado fornecida.
Informações dadas pelo enunciado:
\frac{P v}{R T}=\left(1-\tfrac{1}{4}P^{2}\right).
Aqui, P é a pressão, v é o volume molar, R é a constante dos gases ideais e T é a temperatura. A equação de estado fornece o fator de compressibilidade Z=\dfrac{P v}{R T} em função de P.
O objetivo explícito: obter uma expressão para a fugacidade f (em função de P, T e constantes) e para o coeficiente de fugacidade \varphi (definido por \varphi=f/P), utilizando a equação de estado acima.

Passo 2

Conceito e relação básica que vamos usar (explicando por que ela vale): para uma substância pura, em condição isotérmica, existe a relação termodinâmica padrão entre fugacidade e o fator de compressibilidade:
\ln\frac{f}{P}=\int_{0}^{P}\frac{Z(P')-1}{P'}\,\mathrm{d}P'.
O que isso significa, em palavras simples: a diferença entre o comportamento real e o ideal (medida por Z-1) integrada sobre pressão determina quanto a fugacidade se afasta da pressão ideal P. A integral é tomada desde o gás ideal (pressão nula), onde f\to P e \frac{f}{P}\to 1, até a pressão P de interesse — isso fixa a constante de integração.
Breve justificativa matemática (sem pular etapas importantes):
  • Para uma substância pura e isotérmica, o potencial químico \mu satisfaz \mathrm{d}\mu = v\,\mathrm{d}P.
  • Dividindo por RT e lembrando Z=\dfrac{Pv}{RT} obtemos \mathrm{d}\!\left(\dfrac{\mu}{RT}\right)=\dfrac{Z}{P}\,\mathrm{d}P.
  • Subtraindo a contribuição do gás ideal \mu^{\text{ig}}/RT=\ln P + \text{const} leva à expressão para o resíduo \dfrac{\mu-\mu^{\text{ig}}}{RT}=\ln\!\dfrac{f}{P} e portanto à integral acima.
    (Se isso parece meio abstrato, pense que estamos comparando a energia química real com a do gás ideal; o resultado direto é a fórmula integral que usamos.)

Passo 3

Identificar Z(P) a partir da equação dada: pela própria definição,
Z=\frac{P v}{R T}.
Pela equação do enunciado temos então, para todo P,
Z(P)=1-\tfrac{1}{4}P^{2}.
Esclarecendo: usei a informação do enunciado \dfrac{P v}{R T}=\left(1-\tfrac{1}{4}P^{2}\right) para escrever Z explicitamente em função de P.

Passo 4

Montar o integrando \dfrac{Z-1}{P} que aparece na fórmula da fugacidade:
Z-1 = -\tfrac{1}{4}P^{2},
logo
\frac{Z-1}{P} = -\tfrac{1}{4}P.
Expliquei cada passo: subtrair 1 de Z elimina o termo constante “1” e deixa o termo dependente de P^{2}; dividir por P simplifica para um termo linear em P.

Passo 5

Calcular a integral da relação fundamental:
\ln\frac{f}{P}=\int_{0}^{P}\frac{Z(P')-1}{P'}\,\mathrm{d}P'=\int_{0}^{P}\left(-\tfrac{1}{4}P'\right)\mathrm{d}P'.
Agora integramos passo a passo: a integral de P' é \tfrac{1}{2}P'^{2}, então
\int_{0}^{P}\left(-\tfrac{1}{4}P'\right)\mathrm{d}P' = -\tfrac{1}{4}\cdot\frac{1}{2}P^{2} = -\tfrac{P^{2}}{8}.
Logo obtemos a relação:
\ln\frac{f}{P}=-\tfrac{P^{2}}{8}.
Observe que usei o limite inferior 0 e superior P; no ponto P'=0 o integrando é zero e a integral é bem definida.

Passo 6

Isolar f e obter o coeficiente de fugacidade \varphi. Exponenciando ambos os lados da igualdade do Passo 5:
\frac{f}{P}=\exp\!\left(-\tfrac{P^{2}}{8}\right).
Multiplicando por P obtemos a fugacidade:
f = P\,\exp\!\left(-\tfrac{P^{2}}{8}\right).
E o coeficiente de fugacidade \varphi é simplesmente \varphi=\dfrac{f}{P}, portanto
\varphi=\exp\!\left(-\tfrac{P^{2}}{8}\right).

Passo 7

Verificações rápidas e intuição (para você se animar): quando P\to 0 temos \varphi\to 1 porque \exp(0)=1, o que é consistente — em baixa pressão o gás se comporta como ideal. Para pressões maiores o expoente é negativo, então \varphi<1 e a fugacidade f é menor que P — isto indica que o real “se afasta” do ideal na direção que a EOS especifica. Se quiser, numa prova você pode também apresentar a expansão de Taylor: para pressões pequenas \varphi\approx 1-\tfrac{P^{2}}{8}+\dots, o que dá uma ideia do desvio de ordem P^{2}.

Resposta

f = P\,\exp\!\left(-\tfrac{P^{2}}{8}\right)
\varphi = \exp\!\left(-\tfrac{P^{2}}{8}\right)

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