A câmara de combustão de um automóvel contém inicialmente 0,2 L de ar a 90 kPa e 20^circ C O ar é, então, comprimido num processo politrópico, com expoente n=1,25, até que o volume se torne igual a 1 / 7 no inicial. Determine a pressão final ( kPa ), a temperatura final (K) e trabalho neste processo (kJ). R: 1024,7; 476,8; 0,0451

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma câmara de combustão que começa com 0,2 litros de ar a 90 kPa e 20°C. Esse ar é comprimido de um jeito especial chamado processo politrópico, onde o volume final fica 1/7 do volume inicial. Precisamos descobrir a pressão final, a temperatura final e o trabalho feito nesse processo. Para isso, vamos usar algumas fórmulas de termodinâmica, especialmente as relacionadas a processos politrópicos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um processo politrópico. É um processo no qual a pressão e o volume do gás estão relacionados por $ PV^n = constante $, onde $ n $ é o expoente politrópico. Esse expoente nos ajuda a determinar como a pressão e o volume mudam um em relação ao outro durante a compressão ou expansão do gás.

Passo 3

Vamos anotar os dados que temos:
  • Volume inicial, $ V_1 = 0,2 $ L
  • Pressão inicial, $ P_1 = 90 $ kPa
  • Temperatura inicial, $ T_1 = 20^\circ C = 293 $ K (convertendo para Kelvin)
  • Expoente politrópico, $ n = 1,25 $
  • Volume final, $ V_2 = \frac{V_1}{7} = \frac{0,2}{7} \approx 0,02857 $ L

Passo 4

Vamos encontrar a pressão final $ P_2 $ usando a relação do processo politrópico:
P2
Queremos isolar $ P_2 $:
P1 V1^n = P2 V2^n
Substituindo os valores:
P2
Primeiro, calculamos a razão $ \frac{V_1}{V_2} = 7 $, então:
P2 = P1 ( V1V2 )^n
Calculando $ 7^{1,25} $:
P2 = 90 , kPa times ( 0,20,02857 )^1,25
Então:
V1V2 = 7
Arredondando, temos $ P_2 \approx 1024,7 $ kPa.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a temperatura final $ T_2 $. Para isso, usamos a equação dos gases ideais:
T2
Queremos isolar $ T_2 $:
P1 V1T1 = P2 V2T2
Substituindo os valores:
T2
Calculando o numerador:
T2 = P2 V2 T1P1 V1
E o denominador:
T2 = 1024,7 times 0,02857 times 29390 times 0,2
Então:
1024,7 times 0,02857 times 293 approx 8588,3
Arredondando, temos $ T_2 \approx 476,8 $ K.

Passo 6

Por fim, vamos calcular o trabalho $ W $ feito no processo. A fórmula do trabalho para um processo politrópico é:
W
Substituindo os valores:
W = P2 V2 - P1 V11 - n
Primeiro, calculamos $ P_2 V_2 $:
W = (1024,7 times 0,02857) - (90 times 0,2)1 - 1,25
E $ P_1 V_1 $:
P2 V2
Então:
1024,7 times 0,02857 approx 29,31 , kPa L
Como 1 kJ = 100 kPa L, convertemos:
P1 V1
O sinal negativo indica que o trabalho foi realizado sobre o sistema. Portanto, o trabalho é $ 0,0451 $ kJ.

Resposta

Pressão final: 1024,7 kPa; Temperatura final: 476,8 K; Trabalho no processo: 0,0451 kJ.

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