5-(1,5) Uma câmara de refrigeração deve manter sua temperatura interna em 0^{\circ} \mathrm{C} e retirar do espaço refrigerado calor com taxa de 4000 \mathrm{kcal} / \mathrm{h}. Se a temperatura média externa à câmara for 35^{\circ} \mathrm{C}, qual a minima potência de trabalho ( \mathrm{w}_{\mathrm{e}} ) teórica necessária em “k W”
?

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar exatamente os dados que temos):
  • Temperatura interna da câmara: \,0^\circ\mathrm{C}.
  • Taxa de calor removida da câmara: \,4000\\ \mathrm{kcal/h}.
  • Temperatura média externa (reservatório quente): \,35^\circ\mathrm{C}.
    O que o problema pede:
  • A mínima potência de trabalho teórica necessária (ou seja, o mínimo de potência que o compressor teria que fornecer) em \mathrm{kW}.

Passo 2

Princípio físico e fórmula que vamos usar (explicando direitinho cada coisa):
  • O menor trabalho teórico possível para uma máquina frigorífica que retira calor de um reservatório frio e rejeita para um quente é dado pela máquina de Carnot reversível. Para um refrigerador de Carnot, a razão entre o calor retirado do frio e o trabalho de entrada é chamada de coeficiente de desempenho (COP, aqui chamarei de K).
  • A fórmula do COP de um refrigerador de Carnot é
K \;=\; \frac{T_L}{T_H - T_L},
onde:
  • T_L é a temperatura absoluta (Kelvin) do reservatório frio (a câmara),
  • T_H é a temperatura absoluta (Kelvin) do reservatório quente (externa).
  • Essa fórmula vem da termodinâmica: para um motor de Carnot a eficiência é \eta=(T_H-T_L)/T_H; o refrigerador reverso tem \,K = \dfrac{1}{\dfrac{1}{\eta}-1}\,, o que simplifica para a fórmula acima. Aqui não é preciso decorar a derivação inteira, mas importante saber que as temperaturas devem estar em Kelvin.
  • Se o refrigerador retira um calor \dot{Q}_L (taxa) do espaço refrigerado, o trabalho mínimo (taxa de trabalho) exigido é
\dot{W}_{\min} \;=\; \frac{\dot{Q}_L}{K} \;=\; \dot{Q}_L\cdot\frac{T_H-T_L}{T_L}.
  • Explicando as variáveis:
    • \dot{Q}_L é a taxa de calor retirada (aqui em \mathrm{kcal/h});
    • \dot{W}_{\min} é a potência mínima teórica (vamos converter para \mathrm{kW} no final).

Passo 3

Conversão das temperaturas para Kelvin e cálculo do K:
  • Converter temperaturas:
    • \,T_L = 0^\circ\mathrm{C} = 273{,}15\\ \mathrm{K}.
    • \,T_H = 35^\circ\mathrm{C} = 308{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Diferença:
T_H - T_L = 308{,}15 - 273{,}15 = 35\\ \mathrm{K}.
  • COP de Carnot:
K = \frac{T_L}{T_H - T_L} = \frac{273{,}15}{35} = 7{,}8042857\ldots \approx 7{,}804.
(Interpretação: teoricamente, para cada unidade de trabalho colocado, o refrigerador ideal pode retirar cerca de 7{,}8 unidades de calor do interior.)

Passo 4

Cálculo do trabalho mínimo em \mathrm{kcal/h}:
  • Usando \dot{Q}_L = 4000\\ \mathrm{kcal/h} e \dot{W}=\dot{Q}_L/K,
\dot{W}_{\min} = \frac{4000}{7{,}8042857\ldots} = 4000\cdot\frac{35}{273{,}15} = \frac{140000}{273{,}15} \approx 512{,}54\\ \mathrm{kcal/h}.
(Expliquei o passo de transformar \dfrac{4000}{K} em 4000\cdot\dfrac{T_H-T_L}{T_L} para ver claramente a dependência das temperaturas.)

Passo 5

Converter \mathrm{kcal/h} para \mathrm{kW}:
  • Primeiro, 1 \mathrm{kcal} = 4184\\ \mathrm{J}. Logo
1\\ \mathrm{kcal/h} = \frac{4184\\ \mathrm{J}}{3600\\ \mathrm{s}} \approx 1{,}162222\\ \mathrm{W}=0{,}001162222\\ \mathrm{kW}.
  • Aplicando ao nosso valor:
\dot{W}_{\min} \approx 512{,}54\\ \mathrm{kcal/h}\times 0{,}001162222\\ \frac{\mathrm{kW}}{\mathrm{kcal/h}} \approx 0{,}5957\\ \mathrm{kW}.

Passo 6

Interpretação final e arredondamento:
  • Esse \,0{,}5957\\ \mathrm{kW} é a potência mínima teórica (ideal) necessária — na prática equipamentos reais exigem mais por perdas irreversíveis.
  • Arredondando para três algarismos significativos fica \,0{,}596\\ \mathrm{kW}.

Resposta

0{,}596\\ \mathrm{kW}

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