• No ciclo Brayton simples do exercício 3, considere que um trocador de calor com efetividade de 0,85 é colocado para recuperar o calor que deixa a turbina para préaquecer o ar que entrada da câmara de combustão. Qual será a eficiência do ciclo neste caso?

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a eficiência do ciclo Brayton simples quando é acrescentado um trocador de calor (regenerador) com efetividade \varepsilon = 0,85 que recupera calor da saída da turbina para pré-aquecer o ar que entra na câmara de combustão.
Informações dadas no enunciado: a efetividade do regenerador \varepsilon = 0,85.
Informações que normalmente são necessárias e aqui não foram fornecidas (logo não posso dar um valor numérico final sem elas): razão de pressão do ciclo \;r_p (ou os valores de temperatura/pressão), razão de calores específicos \;\gamma, e as temperaturas de referência do ciclo, tipicamente \;T_1 (entrada do compressor) e \;T_3 (entrada da turbina). Vou, portanto, derivar passo a passo a fórmula geral da eficiência com regenerador (para que você possa aplicar com os dados do exercício 3) e mostrar como substituir \varepsilon=0,85.

Passo 2

Conceitos básicos do Brayton simples (lembrete passo a passo, sem pular etapas):
  • As quatro temperaturas importantes são T_1 (antes do compressor), T_2 (após o compressor), T_3 (após a combustão — entrada da turbina) e T_4 (após a turbina).
  • Para compressores e turbinas considerados isotérmicos em trabalho ideal (processos isentrópicos), as relações entre temperaturas e razão de pressão r_p são:
T_2 = T_1 \, r_p^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}
T_4 = T_3 \, r_p^{-\frac{\gamma-1}{\gamma}}
Expliquei: \gamma é a razão dos calores específicos ( \gamma = c_p/c_v). Essas fórmulas vêm da condição isentrópica para gases perfeitos: T\propto p^{(\gamma-1)/\gamma}.

Passo 3

O que é efetividade do regenerador e como ela altera temperaturas:
  • A efetividade \varepsilon do regenerador mede a fração do potencial de aquecimento que é efetivamente transferido do escoamento quente (saída da turbina, temperatura T_4) para o escoamento frio (saída do compressor, temperatura T_2). Definição prática:
\varepsilon = \frac{T_2' - T_2}{T_4 - T_2}
onde T_2' é a temperatura do ar na entrada da câmara de combustão após o regenerador (ou seja, a temperatura do ar pré-aquecido). Assim isolamos T_2':
T_2' = T_2 + \varepsilon (T_4 - T_2).
Observação: isto supõe T_4 > T_2, condição comum para que a recuperação seja possível.

Passo 4

Energia trocada no ciclo e trabalho líquido (comentar e derivar cada termo):
  • Trabalho do compressor (por unidade de massa, com capacidade calorífica constante c_p):
w_{c} = c_p (T_2 - T_1).
  • Trabalho da turbina:
w_{t} = c_p (T_3 - T_4).
  • Trabalho líquido:
w_{net} = w_t - w_c = c_p\bigl((T_3 - T_4) - (T_2 - T_1)\bigr) = c_p (T_3 - T_4 - T_2 + T_1).
  • Calor adicionado sem regenerador:
q_{in,0} = c_p (T_3 - T_2).
  • Calor adicionado com regenerador (porque o ar já entra mais quente, T_2'):
q_{in,reg} = c_p (T_3 - T_2').
Substituindo T_2' da Passo 3:
q_{in,reg} = c_p\bigl(T_3 - T_2 - \varepsilon (T_4 - T_2)\bigr).

Passo 5

Expressão da eficiência térmica com o regenerador:
Eficiência é trabalho líquido dividido pelo calor adicionado:
\eta_{reg} = \frac{w_{net}}{q_{in,reg}}.
Substituindo as expressões anteriores (note que c_p cancela):
\eta_{reg} = \frac{T_3 - T_4 - T_2 + T_1}{T_3 - T_2 - \varepsilon (T_4 - T_2)}.
Comentário didático: repare que, ao comparar com a eficiência sem regenerador
\eta_0 = \frac{T_3 - T_4 - T_2 + T_1}{T_3 - T_2},
o efeito do regenerador é reduzir o calor de entrada (denominador) por um fator que depende de \varepsilon e da diferença T_4-T_2, aumentando portanto a eficiência. Podemos também reescrever:
\eta_{reg} = \frac{\eta_0}{1 - \varepsilon\displaystyle\frac{T_4 - T_2}{T_3 - T_2}}.
Isto dá intuição: quanto maior \varepsilon, maior a eficiência; se \varepsilon=0 recuperamos \eta_0.

Passo 6

Substituir as relações isentrópicas para expressar tudo em termos de T_1, T_3, r_p, \gamma:
Usando T_2 = T_1 r_p^{\frac{\gamma-1}{\gamma}} e T_4 = T_3 r_p^{-\frac{\gamma-1}{\gamma}}, temos a fórmula final conveniente para cálculo numérico quando você conhecer r_p, \gamma, T_1 e T_3:
\eta_{reg} = \frac{T_3 - T_3 r_p^{-\frac{\gamma-1}{\gamma}} - T_1 r_p^{\frac{\gamma-1}{\gamma}} + T_1} {T_3 - T_1 r_p^{\frac{\gamma-1}{\gamma}} - \varepsilon\bigl(T_3 r_p^{-\frac{\gamma-1}{\gamma}} - T_1 r_p^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}\bigr)}.
Agora basta substituir \varepsilon=0,85 e os valores numéricos de T_1,T_3,r_p,\gamma do exercício 3 para obter a eficiência numérica.

Passo 7

Como aplicar na prática (roteiro passo a passo para a prova, sem calculadora em etapas inteiras):
  1. Calcule primeiro o expoente \alpha = \dfrac{\gamma-1}{\gamma}. Para ar seco \gamma\approx 1{,}4 então \alpha \approx 0{,}2857.
  2. Calcule T_2 = T_1 r_p^\alpha e T_4 = T_3 r_p^{-\alpha}. (Use potências simples; em prova normalmente r_p e temperaturas são dados práticos).
  3. Substitua em
\eta_{reg} = \frac{T_3 - T_4 - T_2 + T_1}{T_3 - T_2 - 0{,}85 (T_4 - T_2)}.
  1. Faça as subtrações no numerador e denominador, e calcule a divisão final. Lembre-se que T em Kelvin — as diferenças de temperatura são iguais em K ou °C, mas para potências nas relações isentrópicas o T deve estar em Kelvin.

Resposta

\eta_{reg} = \frac{T_3 - T_4 - T_2 + T_1}{T_3 - T_2 - 0{,}85\,(T_4 - T_2)}
onde
T_2 = T_1 \, r_p^{\frac{\gamma-1}{\gamma}},\qquad T_4 = T_3 \, r_p^{-\frac{\gamma-1}{\gamma}}.

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