• Uma turbina tem rendimento de 85 \% e recebe ar na temperatura de 827^{\circ} \mathrm{C} e sob pressão de 5 \mathrm{kgf} / \mathrm{cm}^{2}. A pressão de descarga é de 1 \mathrm{kgf} / \mathrm{cm}^{2} e a temperatura do ar na admissão do compressor é de 17^{\circ} \mathrm{C} . \mathrm{O} rendimento do compressor é de 80 \%. Calcular:
  • A) O trabalho efetuado pela turbina
  • B) O trabalho recebido pelo ar no compressor
  • C ) \mathrm{O} rendimento térmico do ciclo

Passo 1

O enunciado pede três coisas: (A) o trabalho efetuado pela turbina, (B) o trabalho recebido pelo ar no compressor e (C) o rendimento térmico do ciclo.
Informações dadas (vou listar tudo para não perder nada):
\eta_{\text{turbina}} = 85\% = 0{,}85
\eta_{\text{compressor}} = 80\% = 0{,}80
pressão de entrada da turbina p_3 = 5\\ \mathrm{kgf/cm^{2}} (essa é também a pressão de saída do compressor)
pressão de descarga da turbina p_4 = 1\\ \mathrm{kgf/cm^{2}} (essa é também a pressão de admissão do compressor)
temperatura de entrada da turbina 827^\circ\mathrm{C}
temperatura de admissão do compressor 17^\circ\mathrm{C}
Vou resolver por kg de ar (unidade típica) e usar propriedades do ar como gás perfeito com calor específico constante: c_p = 1{,}005\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} e razão dos calores k = 1{,}4. Essas são aproximações padrão em problemas de ciclo Brayton quando nada mais é dito.
Observação: não estamos inventando dados — apenas assumimos valores típicos de ar ( c_p e k ) para poder calcular.

Passo 2

Converter temperaturas para Kelvin (sempre converter antes de usar fórmulas térmicas):
T_3 = 827^\circ\mathrm{C} + 273{,}15 = 1100{,}15\\ \mathrm{K}\\ \approx 1100\\ \mathrm{K}
T_1 = 17^\circ\mathrm{C} + 273{,}15 = 290{,}15\\ \mathrm{K}\\ \approx 290\\ \mathrm{K}
Para facilitar a conta vou usar T_3=1100\\ \mathrm{K} e T_1=290\\ \mathrm{K} (arredondamento compatível com precisão dos dados).
Defino também a razão de pressão do compressor/turbina:
r_p=\frac{p_2}{p_1}=\frac{p_3}{p_4}=\frac{5}{1}=5.

Passo 3

Explicar as fórmulas que vamos usar (passo-a-passo didático):
  • Para uma compressão/expansão isentrópica de gás perfeito com k constante:
T_{2s}=T_1\left(\frac{p_2}{p_1}\right)^{\frac{k-1}{k}} \quad\text{e}\quad T_{4s}=T_3\left(\frac{p_4}{p_3}\right)^{\frac{k-1}{k}}.
Aqui T_{2s} e T_{4s} são as temperaturas que seriam obtidas se os processos fossem isentrópicos (adiabáticos reversíveis).
  • A eficiência isentrópica do compressor relaciona a elevação real de temperatura com a isentrópica:
\eta_c=\frac{T_{2s}-T_1}{T_2-T_1}\quad\Rightarrow\quad T_2=T_1+\frac{T_{2s}-T_1}{\eta_c}.
Isso significa: o trabalho real do compressor é maior que o isentrópico; \eta_c diz quanto da “melhor” compressão ideal foi alcançada.
  • A eficiência isentrópica da turbina:
\eta_t=\frac{T_3-T_4}{T_3-T_{4s}}\quad\Rightarrow\quad T_4=T_3-\eta_t\,(T_3-T_{4s}).
Significa: na turbina real a queda de temperatura (e, portanto, o trabalho extraído) é menor que no caso ideal; \eta_t mede essa perda.
  • Trabalhos específicos (por kg de ar) com c_p constante:
w_c = c_p\,(T_2-T_1),\qquad w_t = c_p\,(T_3-T_4).
  • Calor adicionado (no combustor, pressão constante):
q_{\text{in}} = c_p\,(T_3-T_2).
  • Rendimento térmico do ciclo:
\eta_{\text{term}}=\frac{w_t-w_c}{q_{\text{in}}}.
Agora aplicamos essas fórmulas numericamente.

Passo 4

Calcular T_{2s} (resultado da compressão isentrópica ideal):
Usando o expoente \dfrac{k-1}{k}=\dfrac{0{,}4}{1{,}4}=0{,}285714\dots
T_{2s}=T_1\,r_p^{\frac{k-1}{k}}=290\cdot 5^{0{,}285714}\approx 290\cdot 1{,}58305 = 459{,}08\\ \mathrm{K}.

Passo 5

Calcular a temperatura real de saída do compressor T_2 usando \eta_c=0{,}80:
T_2 = T_1 + \frac{T_{2s}-T_1}{\eta_c} = 290 + \frac{459{,}08-290}{0{,}80} = 290 + \frac{169{,}08}{0{,}80} = 290 + 211{,}35 = 501{,}35\\ \mathrm{K}.
Explicação rápida: como o compressor não é ideal, a temperatura final é maior que a isentrópica.

Passo 6

Calcular o trabalho recebido pelo ar no compressor (por kg):
w_c = c_p\,(T_2-T_1) = 1{,}005\cdot(501{,}35-290) = 1{,}005\cdot 211{,}35 \approx 212{,}41\\ \mathrm{kJ/kg}.
Interpretação: esse é o trabalho que tem de ser fornecido ao compressor por kg de ar.

Passo 7

Calcular T_{4s} (expansão isentrópica ideal na turbina):
T_{4s}=T_3\left(\frac{p_4}{p_3}\right)^{\frac{k-1}{k}} =1100\cdot \left(\frac{1}{5}\right)^{0{,}285714} =1100\cdot 0{,}63146 \approx 694{,}61\\ \mathrm{K}.
Observação: 0{,}63146 é aproximadamente o inverso de 1{,}58305, como era de esperar.

Passo 8

Calcular a temperatura real de saída da turbina T_4 usando \eta_t=0{,}85:
T_4 = T_3 - \eta_t\,(T_3-T_{4s}) =1100 - 0{,}85\,(1100-694{,}61) =1100 - 0{,}85\cdot 405{,}39 =1100 - 344{,}58 = 755{,}42\\ \mathrm{K}.
Interpretação: como a turbina não é ideal, a queda real de temperatura é menor que a ideal.

Passo 9

Calcular o trabalho efetuado pela turbina (por kg):
w_t = c_p\,(T_3-T_4) = 1{,}005\cdot(1100-755{,}42) = 1{,}005\cdot 344{,}58 \approx 346{,}30\\ \mathrm{kJ/kg}.
Esse é o trabalho que a turbina entrega por kg de ar.

Passo 10

Calcular o calor adicionado e o rendimento térmico do ciclo:
Calor adicionado:
q_{\text{in}} = c_p\,(T_3-T_2) = 1{,}005\cdot(1100-501{,}35) = 1{,}005\cdot 598{,}65 \approx 601{,}64\\ \mathrm{kJ/kg}.
Trabalho líquido do ciclo por kg:
w_{\text{líq}} = w_t - w_c = 346{,}30 - 212{,}41 = 133{,}89\\ \mathrm{kJ/kg}.í
Rendimento térmico:
\eta_{\text{term}} = \frac{w_{\text{líq}}}{q_{\text{in}}} = \frac{133{,}89}{601{,}64} \approx 0{,}2226 = 22{,}26\%.í
Interpretação final: cerca de 22{,}3\% de eficiência térmica; isso está na faixa típica para um ciclo Brayton simples sem regeneração.

Resposta

A) w_t \approx 346{,}30\\ \mathrm{kJ/kg}
B) w_c \approx 212{,}41\\ \mathrm{kJ/kg}
C) \eta_{\text{term}} \approx 22{,}26\%

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