Prob. 03: Considere uma mistura gasosa contendo 35 \% de dióxido de carbono, 45 de monóxido de carbono e 20 \% de hidrogênio, a 1.000 K e 250 kPa . Determine a exergia química da mistura de gases, em kJ/kg de mistura.

Passo 1

O enunciado pede a exergia química da mistura gasosa, em kJ/kg de mistura. Os dados fornecidos são:
\text{composição: }35\% \text{ de } \mathrm{CO_2},\;45\% \text{ de } \mathrm{CO},\;20\% \text{ de } \mathrm{H_2}çã
\text{condições da mistura: }T=1000\\ \mathrm{K},\;p=250\\ \mathrm{kPa}çõ
O que devemos entregar é a exergia química da mistura expressa por unidade de massa da mistura (kJ/kg).
Para poder resolver de modo concreto preciso fazer uma escolha razoável de referência (estado morto). Vou adotar a escolha padrão usada em muitos exercícios: temperatura do estado morto T_0=298{,}15\\ \mathrm{K} (25 °C). Além disso, para interpretar os 35\%, 45\% e 20\% vou tratá-los como frações molares (isto é, y_{\mathrm{CO_2}}=0{,}35, y_{\mathrm{CO}}=0{,}45, y_{\mathrm{H_2}}=0{,}20). Se no exame os percentuais forem por massa, o procedimento é o mesmo mas é preciso converter para frações molares; aqui a escolha por frações molares é a mais comum.
Observação importante (para lembrar na prova): a exergia química de mistura que vamos calcular é a exergia associada à mistura ideal dos gases (ou seja, a exergia de mistura). Não usamos aqui exergias químicas padrão de formação de cada espécie; estamos calculando a contribuição devido ao fato das espécies estarem misturadas (exergia disponível por dessimilar a mistura até separar em componentes puros no estado morto).

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (aulas rápidas): para gases ideais a variação da energia livre de Gibbs causada pela mistura ideal (energia livre de mistura) é
\Delta G_{\text{mix}}=RT_0\sum_i y_i\ln y_i,
onde:
  • R é a constante universal dos gases ( R=8{,}314462\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}),
  • T_0 é a temperatura do estado morto (ambiente),
  • y_i são as frações molares das espécies na mistura,
  • \ln é o logaritmo natural.
A exergia química associada à mistura (exergia química de mistura, energia disponível ao separar a mistura em componentes puros sob T_0) é o negativo dessa energia livre de mistura (disponível para conversão em trabalho):
e_{\text{ch,mol}} = -\Delta G_{\text{mix}} = -R T_0 \sum_i y_i \ln y_i.
Aqui e_{\text{ch,mol}} tem unidades de energia por mol de mistura (por exemplo J/mol ou kJ/mol). Para obter por massa (kJ/kg) convertemos usando a massa molar média da mistura M_{\text{mix}}:
e_{\text{ch,kg}} = \frac{e_{\text{ch,mol}}}{M_{\text{mix}}}
onde M_{\text{mix}} deve estar em \mathrm{kg/mol} para obter e_{\text{ch,kg}} em \mathrm{kJ/kg} (asiempre cuidando das unidades).
Explicação intuitiva curta: ao misturar gases ideais ocorre uma diminuição da energia livre (mistura espontânea), e essa diminuição é a energia que poderia ser extraída — por isso a exergia disponível é o negativo da variação de Gibbs.

Passo 3

Calcular o termo \sum_i y_i \ln y_i com y_{\mathrm{CO_2}}=0{,}35,\;y_{\mathrm{CO}}=0{,}45,\;y_{\mathrm{H_2}}=0{,}20.
Cálculos individuais:
y_{\mathrm{CO_2}}\ln y_{\mathrm{CO_2}} = 0{,}35\ln(0{,}35) = 0{,}35\cdot(-1{,}0498221245) = -0{,}3674377436,
y_{\mathrm{CO}}\ln y_{\mathrm{CO}} = 0{,}45\ln(0{,}45) = 0{,}45\cdot(-0{,}7985076962) = -0{,}3593284633,
y_{\mathrm{H_2}}\ln y_{\mathrm{H_2}} = 0{,}20\ln(0{,}20) = 0{,}20\cdot(-1{,}6094379124) = -0{,}3218875825.
Somando:
\sum_i y_i\ln y_i = -0{,}3674377436-0{,}3593284633-0{,}3218875825 = -1{,}0486537894.
Logo -\sum_i y_i\ln y_i = 1{,}0486537894.

Passo 4

Calcular e_{\text{ch,mol}} = -R T_0 \sum_i y_i \ln y_i.
Usando R=8{,}314462\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}} e T_0=298{,}15\\ \mathrm{K}:
R T_0 = 8{,}314462\cdot 298{,}15 = 2478{,}9626\\ \mathrm{J/mol}.
Multiplicando:
e_{\text{ch,mol}} = 2478{,}9626\cdot 1{,}0486537894 = 2599{,}946\\ \mathrm{J/mol}.
Converter para kJ/mol:
e_{\text{ch,mol}} = 2{,}599946\\ \mathrm{kJ/mol}.
Interpretação: cada mol da mistura contém cerca de 2{,}60\\ \mathrm{kJ} de exergia química associada à mistura.

Passo 5

Calcular a massa molar média da mistura M_{\text{mix}}. Usamos massas molares (valores usuais):
M_{\mathrm{CO_2}}=44{,}01\\ \mathrm{g/mol},\quad M_{\mathrm{CO}}=28{,}01\\ \mathrm{g/mol},\quad M_{\mathrm{H_2}}=2{,}016\\ \mathrm{g/mol}.
Média ponderada por fração molar:
M_{\text{mix}} = 0{,}35\cdot 44{,}01 + 0{,}45\cdot 28{,}01 + 0{,}20\cdot 2{,}016.
Cálculo:
0{,}35\cdot 44{,}01 = 15{,}4035\\ \mathrm{g/mol},
0{,}45\cdot 28{,}01 = 12{,}6045\\ \mathrm{g/mol},
0{,}20\cdot 2{,}016 = 0{,}4032\\ \mathrm{g/mol}.
Somando:
M_{\text{mix}} = 15{,}4035 + 12{,}6045 + 0{,}4032 = 28{,}4112\\ \mathrm{g/mol} = 0{,}0284112\\ \mathrm{kg/mol}.

Passo 6

Converter e_{\text{ch,mol}} (kJ/mol) para e_{\text{ch,kg}} (kJ/kg) usando
e_{\text{ch,kg}} = \frac{e_{\text{ch,mol}}}{M_{\text{mix}}}.
Temos e_{\text{ch,mol}}=2{,}599946\\ \mathrm{kJ/mol} e M_{\text{mix}}=0{,}0284112\\ \mathrm{kg/mol}. Então
e_{\text{ch,kg}} = \frac{2{,}599946}{0{,}0284112} = 91{,}616\\ \mathrm{kJ/kg}.
Arredondando convenientemente para três algarismos significativos:
e_{\text{ch,kg}} \approx 91{,}6\\ \mathrm{kJ/kg\\ de\\ mistura}.

Passo 7

Comentários finais e lembretes para a prova (amigável e prático):
  • Note que as condições reais da mistura dadas no enunciado ( T=1000\\ \mathrm{K} e p=250\\ \mathrm{kPa}) não entraram no cálculo da exergia de mistura porque a exergia química de mistura depende da composição e da temperatura do estado morto T_0 (aqui tomado como 298{,}15\\ \mathrm{K}). O fato da mistura estar a 1000 K e 250 kPa pode ser relevante se você tiver que computar também a exergia física (energia interna e entropia em relação ao estado morto), mas para a exergia química de mistura usamos a expressão baseada em T_0 e nas frações molares.
  • Se os percentuais no enunciado fossem por massa, o primeiro passo na prova é converter para frações molares antes de aplicar a fórmula; faça isso com cuidado com as massas molares.
  • Sempre anote claramente qual T_0 (estado morto) você está usando; se o enunciado não disser, use 298{,}15\\ \mathrm{K} e justifique.
  • A fórmula chave a memorizar: \;e_{\text{ch,mol}} = -R T_0 \sum_i y_i \ln y_i\; para mistura ideal (exergia de mistura).

Resposta

91{,}6\\ \mathrm{kJ/kg\\ de\\ mistura}

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