Ciclo Dual: No início do processo de compressão de um ciclo de ar-padrão dual com uma taxa de compressão de 8 , a temperatura é de 300 K , a pressão é de 0,1 \mathrm{MPa} e o volume do cilindro é de 0,56 litros. A relação de pressão para o trecho a volume constante do processo de aquecimento é de 1,5: 1. A razão volumétrica (razão de corte) para o trecho a pressão constante do processo de aquecimento é de 1,2: 1. Determine: (a) a temperatura e a pressão ao final de cada processo do ciclo; (b) a eficiência térmica; e (c) a pressão média efetiva.

Passo 1

Enunciado e dados (o que o problema pede e o que foi dado):
  • O ciclo é o ciclo Dual (compressão isentrópica 1→2, aquecimento a volume constante 2→3, aquecimento a pressão constante 3→4, expansão isentrópica 4→5 até o volume inicial e rejeição a volume constante 5→1).
  • Dados numéricos (peguei estes valores do enunciado):
    • r=\dfrac{V_1}{V_2}=8 (taxa de compressão).
    • T_1=300\\ \mathrm{K}.
    • P_1=0,1\\ \mathrm{MPa}.
    • V_1=0,56\\ \mathrm{L}=0,00056\\ \mathrm{m^3}.
    • Razão de pressão no aquecimento a volume constante: \dfrac{P_3}{P_2}=1,5.
    • Razão volumétrica (razão de corte) no aquecimento a pressão constante: \dfrac{V_4}{V_3}=r_c=1,2.
  • O que é pedido:
    (a) a temperatura e a pressão ao final de cada processo (ou seja, os estados 1,2,3,4,5);
    (b) a eficiência térmica \eta do ciclo;
    (c) a pressão média efetiva p_{mef}.
Observações que usarei sem pedir nada: adoto ar perfeito com \gamma=1,4 e capacidades específicas aproximadas \,C_v=0,718\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} e \,C_p=1,005\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}. A constante dos gases será \,R=287\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)} (ou 0,287\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} se precisar).

Passo 2

Volumes nos estados 1–4 (simples cálculo direto a partir de r e r_c):
  • V_2=\dfrac{V_1}{r}=\dfrac{0,00056}{8}=0,00007\\ \mathrm{m^3} (ou 0,07\\ \mathrm{L}).
  • Como o aquecimento 2→3 é a volume constante, V_3=V_2=0,00007\\ \mathrm{m^3}.
  • V_4=r_c V_3=1,2\cdot 0,00007=0,000084\\ \mathrm{m^3} (ou 0,084\\ \mathrm{L}).
  • O estado 5 retorna ao volume inicial: V_5=V_1=0,00056\\ \mathrm{m^3}.
Explicação curta útil para prova: saber os volumes em cada estado é obrigatório porque nas etapas isentrópicas e nos processos à pressão/volume constante relacionamos P, V e T pelo gás ideal e pelas leis \,PV^\gamma= const (isentrópico) e \,P\,V = m R T.

Passo 3

Estado 2 — fim da compressão isentrópica (1→2):
Fórmulas que uso (relembre para a prova):
  • Para compressão isentrópica de gás perfeito: \displaystyle T_2 = T_1\, r^{\gamma-1}.
  • E \displaystyle P_2 = P_1\, r^{\gamma}.
Cálculos:
T_2 = 300\cdot 8^{\,1,4-1}=300\cdot 8^{0,4}.
Calcule 8^{0,4} (pode-se usar propriedades de logaritmo; aqui já avaliei): 8^{0,4}\approx 2,29643. Então
T_2 \approx 300\cdot 2,29643 \approx 688,93\\ \mathrm{K}.
Agora a pressão:
P_2 = 0,1\cdot 8^{1,4}\\ \mathrm{MPa}.
Como 8^{1,4}=8\cdot 8^{0,4}\approx 8\cdot 2,29643\approx 18,369,
P_2 \approx 0,1\cdot 18,369 \approx 1,8369\\ \mathrm{MPa}.
Breve didática: a razão é que na compressão isentrópica a temperatura aumenta conforme r^{\gamma-1} e a pressão conforme r^\gamma. Decore essas relações; são muito usadas.

Passo 4

Estado 3 — fim do aquecimento a volume constante (2→3):
Para processo a volume constante: V_3=V_2 e pela lei dos gases ideais \dfrac{P_3}{P_2}=\dfrac{T_3}{T_2} (porque P\propto T quando V é constante).
Dado \dfrac{P_3}{P_2}=1,5, segue
T_3 = 1,5\;T_2.
Cálculo:
T_3 = 1,5\cdot 688,93 \approx 1033,39\\ \mathrm{K}.
E a pressão
P_3 = 1,5\;P_2 \approx 1,5\cdot 1,8369 \approx 2,7554\\ \mathrm{MPa}.
Dica para prova: em processo isocórico a pressão muda na mesma proporção da temperatura.

Passo 5

Estado 4 — fim do aquecimento a pressão constante (3→4):
Para processo a pressão constante: P_4=P_3 e \dfrac{V_4}{V_3}=\dfrac{T_4}{T_3}=r_c.
Logo
T_4 = r_c\;T_3 = 1,2\cdot 1033,39 \approx 1240,07\\ \mathrm{K},
e
P_4 = P_3 \approx 2,7554\\ \mathrm{MPa}.

Passo 6

Estado 5 — fim da expansão isentrópica (4→5) até V_5=V_1:
Relações isentrópicas novamente:
T_5 = T_4\left(\dfrac{V_4}{V_5}\right)^{\gamma-1}.
Já calculamos V_4/V_5 = \dfrac{0,000084}{0,00056}=0,15. Então
T_5 = 1240,07\cdot (0,15)^{0,4}.
Avaliação: (0,15)^{0,4}\approx 0,46837, logo
T_5 \approx 1240,07\cdot 0,46837 \approx 580,63\\ \mathrm{K}.
A pressão P_5 pela isentrópica (ou pelo gás ideal, já que P\propto T/V quando V muda) pode ser obtida por
P_5 = P_4\left(\dfrac{V_4}{V_5}\right)^{\gamma} =2,7554\cdot (0,15)^{1,4}\\ \mathrm{MPa}.
Cálculo: (0,15)^{1,4}\approx 0,07036, então
P_5 \approx 2,7554\cdot 0,07036 \approx 0,1939\\ \mathrm{MPa}.
Verificação rápida (consistência): em 5→1 (rejeição a volume constante), P_1/P_5=T_1/T_5. Com os valores acima obtém-se P_1\approx 0,1\\ \mathrm{MPa} como dado — bom sinal.

Passo 7

Cálculo do calor adicionado e rejeitado e eficiência térmica:
Fórmulas de balanço de energia (por unidade de massa): para o ciclo Dual o calor de entrada total é soma do trecho isocórico e do trecho isobárico:
Q_{in} = C_v\,(T_3-T_2) + C_p\,(T_4-T_3).
O calor rejeitado (a volume constante 5→1) é
Q_{out} = C_v\,(T_5-T_1).
A eficiência térmica é
\eta = 1 - \dfrac{Q_{out}}{Q_{in}}.
Substituindo números (vou usar C_v=0,718 e C_p=1,005 em \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}):
  • T_3-T_2 \approx 1033,39-688,93 = 344,46\\ \mathrm{K}.
  • T_4-T_3 \approx 1240,07-1033,39 = 206,68\\ \mathrm{K}.
  • T_5-T_1 \approx 580,63-300 = 280,63\\ \mathrm{K}.
Agora:
Q_{in}=0,718\cdot 344,46 + 1,005\cdot 206,68 \approx 247,38 + 207,71 \approx 455,09\\ \mathrm{kJ/kg}.
Q_{out}=0,718\cdot 280,63 \approx 201,62\\ \mathrm{kJ/kg}.
Portanto
\eta = 1 - \dfrac{201,62}{455,09} \approx 1 - 0,4433 \approx 0,5567\\ (55,67\%).
Dica para prova: em ciclos com etapas mistas (Dual) sempre escreva o balanço de calor por etapas e lembre-se de usar C_v para processos isocóricos e C_p para isobáricos.

Passo 8

Cálculo da pressão média efetiva p_{mef}:
Definição que usarei: a pressão média efetiva é a razão entre o trabalho líquido por ciclo e o volume varrido (swept volume) por ciclo:
p_{mef}=\dfrac{W_{net}}{V_s},
onde W_{net}=Q_{in}-Q_{out} (por unidade de massa multiplicado pela massa no cilindro dá trabalho por ciclo) e V_s=V_1-V_2 é o volume varrido por ciclo.
Primeiro obtenho a massa de ar no cilindro no estado 1 (útil para converter energia por massa em energia por ciclo):
m=\dfrac{P_1 V_1}{R T_1}.
Usando P_1=100000\\ \mathrm{Pa}, V_1=0,00056\\ \mathrm{m^3}, R=287\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}, T_1=300\\ \mathrm{K},
m=\dfrac{100000\cdot 0,00056}{287\cdot 300}\approx 0,000650997\\ \mathrm{kg}.
Trabalho líquido por ciclo (J):
W_{net,cycle}=m\cdot (Q_{in}-Q_{out})\cdot 1000
(ou seja, converte kJ/kg para J/kg multiplicando por 1000).
Com Q_{in}-Q_{out}\approx 253,47\\ \mathrm{kJ/kg},
W_{net,cycle}\approx 0,000650997\cdot 253,47\cdot 1000 \approx 164,17\\ \mathrm{J}.
Volume varrido:
V_s = V_1-V_2 = 0,00056-0,00007=0,00049\\ \mathrm{m^3}.
Portanto
p_{mef} = \dfrac{164,17}{0,00049}\approx 335246\\ \mathrm{Pa}\approx 335,25\\ \mathrm{kPa}\approx 0,33525\\ \mathrm{MPa}.
Interpretação: p_{mef} é uma forma de expressar trabalho útil do ciclo por unidade de deslocamento — muito útil em motores para comparar potências.

Resposta

(a) Estados (temperatura e pressão):
T1 = 300\\ \mathrm{K}, P1 = 0,1\\ \mathrm{MPa}
T2 ≈ 688,93\\ \mathrm{K}, P2 ≈ 1,8369\\ \mathrm{MPa}
T3 ≈ 1033,39\\ \mathrm{K}, P3 ≈ 2,7554\\ \mathrm{MPa}
T4 ≈ 1240,07\\ \mathrm{K}, P4 ≈ 2,7554\\ \mathrm{MPa}
T5 ≈ 580,63\\ \mathrm{K}, P5 ≈ 0,1939\\ \mathrm{MPa}
(b) Eficiência térmica: \eta \approx 0,5567 (ou 55,67\%).
(c) Pressão média efetiva: p_{mef}\approx 335,25\\ \mathrm{kPa} (ou 0,33525\\ \mathrm{MPa}).

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