5- As condições de operação de um compressor de quatro estágios são: Primeiro estágio:
e ws1
; Segundo estágio: p2 = 2,1 e eta_2 = 78%; Terceiro estágio: p3 = 2,3 e eta_3 = 78%; Quarto estágio: p4 = 2,6 e eta_4 = 74%. Onde os termos p, ws e ? são a relação de pressão total, o trabalho especifico e a eficiência isentrópica, respectivamente. Além disso, a pressão total e a temperatura do ar na entrada do compressor são de 1,5 bar e 350 K , respectivamente. a) Calcule a eficiência politrópica do primeiro estágio; b) Determine e explique o efeito de adicionar o próximo, depois dois e, finalmente, três etapas para o primeiro estágio, em termos de eficiência isentrópica.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem ainda resolver nada).
Dados fornecidos:
- Pressão total e temperatura na entrada do compressor:
e . - Primeiro estágio:
(o enunciado coloca apenas “ ”), e (o enunciado usa essa notação). - Segundo estágio:
e . - Terceiro estágio:
e . - Quarto estágio:
e .
O enunciado pede:
(a) Calcular a eficiência politrópica do primeiro estágio;
(b) Determinar e explicar o efeito de dividir (adicionar) o primeiro estágio em 2, depois em 3 sub‑estágios (ou seja: o efeito de usar 1, 2 e 3 sub‑estágios que, em conjunto, fazem o “primeiro estágio original”) sobre a eficiência isentrópica de cada sub‑estágio.
(a) Calcular a eficiência politrópica do primeiro estágio;
(b) Determinar e explicar o efeito de dividir (adicionar) o primeiro estágio em 2, depois em 3 sub‑estágios (ou seja: o efeito de usar 1, 2 e 3 sub‑estágios que, em conjunto, fazem o “primeiro estágio original”) sobre a eficiência isentrópica de cada sub‑estágio.
Observação importante sobre os dados (vou ser transparente):
- Há ambiguidade/possível erro nos dados tal como apresentados:
é numericamente absurdo se tomado literalmente (23 500 kJ/kg é gigantesco para um estágio de compressão). Há duas interpretações razoáveis: -
são pressões absolutas (em bar) nos pontos de saída de cada estágio, ou -
são razões de pressão (pressure ratios) por estágio.
-
- Além disso,
pode ser dado em J/kg (ou seja, ) ou pode haver um zero a menos ou a mais no enunciado. - Como não posso pedir esclarecimento, vou escolher a interpretação que permite um tratamento consistente e didático do problema e explicarei a escolha: vou interpretar os números
como razões de pressão (pressure ratios) por estágio — isto é, cada é o fator de aumento de pressão desse estágio — porque isso é a forma mais comum em enunciados de compressores. Para vou assumir que o valor plausível que torna o cálculo consistente é (ou seja, com uma possível vírgula deslocada). Essa escolha é feita porque: - Com
como razão de pressão por estágio e T de entrada , trabalhos isentrópicos/atuais típicos por estágio ficam na ordem de algumas centenas de kJ/kg; um da ordem de é então consistente numericamente. - Se o objetivo é mostrar o método (e o efeito de fracionar em sub‑estágios), esse ajuste permite uma resolução numérica coerente e didática.
Se preferir outra interpretação, diga que eu repito com a sua convenção; por enquanto sigo essa para resolver.
- Com
Propriedades do ar (valores padrão usados):
- Vou usar ar ideal com
e . Estas são hipóteses padrão para exercício de termodinâmica com ar.
Passo 2
Aulas rápidas (fórmulas e conceitos que vou usar) — explicadas de forma didática antes de aplicar:
- Definição de processo politrópico (expoente
):
- Um processo politrópico de compressão satisfaz
constante. Para um gás ideal, a diferença de temperatura/energia associada pode ser escrita e leva ao trabalho por massa:
onde:
-
é o trabalho específico (real, do processo politrópico) por kg, -
é o calor específico a pressão constante (em kJ/(kg·K)), -
é a temperatura total de entrada (em K), -
é a razão de pressão do estágio ( ), -
é o expoente politrópico (número que define o processo). - Observação: para
o processo politrópico torna‑se isentrópico ideal.
- Trabalho isentrópico (compressão ideal):
- O trabalho isentrópico específico para compressão entre as mesmas pressões é
- Eficiência isentrópica por estágio:
- Definida como a razão entre o trabalho isentrópico e o trabalho real (para compressor):
(Em compressão,
é maior que
, portanto
.)
- Relação entre eficiência isentrópica e politrópica:
- Eliminando
entre as expressões e usando quando assumimos um comportamento politrópico com expoente , obtemos a relação
- A eficiência politrópica
(definição usual para compressor) pode ser dada por
Observação: esta
é a eficiência do processo infinitesimal (differential) que, para um dado
, satisfaz
quando
(isentrópico). Essas fórmulas são padrão e eu as usei para linkar
,
e
.
Estratégia prática para (a):
- A partir do trabalho real conhecido do primeiro estágio
(vou assumir que o dado corresponde ao trabalho real do primeiro estágio; isto é coerente com a notação que às vezes usa para “work specific”, mas aqui escolho = 235 kJ/kg), e conhecendo , e a razão de pressão , vou resolver numericamente a equação
para
. Depois obtenho
por
Passo 3
Aplicando ao primeiro estágio (detalhando contas passo a passo) — clareza sobre hipóteses:
- Hipóteses numéricas adotadas (explicitadas):
- Interpreto
como razão de pressão do primeiro estágio. - Assumo
(ou seja, ): escolha feita para consistência numérica com propriedades de ar. Se seu enunciado tinha outra unidade, avise e eu refaço. - Uso
e . -
.
- Interpreto
Calcule
:
Coloco a equação para achar
:
Dividindo ambos os lados por
define-se
logo buscamos
que satisfaça
Agora resolvo numericamente por tentativas explicadas (método simples e didático):
- Teste
(isento ideal para ar): Resultado (menor que mas próximo). - Teste
: Resultado muito próximo de . - Fazendo pequena interpolação/ajuste, fica claro que
satisfaz a equação com boa precisão.
Portanto tomo
(expoente politrópico do primeiro estágio).
Passo 4
Calcular a eficiência politrópica
usando a fórmula:
Substituindo
e
:
Logo
Interpretação física rápida (didática):
-
significa que, no sentido da definição de eficiência politrópica, o processo equivalente por tem essa eficiência diferencial — é um número típico para equipamentos reais (dependendo de máquina, projeto e perdas). Repare que e ocorreria só para (compressão isentrópica ideal).
Passo 5
Parte (b): efeito de dividir o primeiro estágio em 2 e depois em 3 sub‑estágios — desenvolvimento com números e explicação didática.
Ideia física a explicar primeiro (com linguagem simples):
- Se a razão de pressão total que antes era obtida num único estágio
for conquistada dividindo‑a em sub‑estágios iguais (cada sub‑estágio com ), então cada sub‑estágio terá menor razão de pressão do que o estágio original. Mantendo o mesmo comportamento politrópico caracterizado por (ou seja, as mesmas perdas relativas por processo infinitesimal), a eficiência isentrópica de cada sub‑estágio aumenta quando cresce. No limite as sub‑etapas tornam o processo efetivamente politrópico infinitesimal e a eficiência isentrópica de cada sub‑etapa tende a (isto é, a conversão entre trabalho real e isentrópico por sub‑etapa melhora), desde que se mantenha a mesma local. - Em termos práticos: dividir a compressão em mais estágios com reaquecimento/intercooling apropriado e compressão a menores razões por estágio costuma aumentar a eficiência global real do compressor (há custos e limitações de projeto, mas a tendência é esta).
Cálculo numérico ilustrativo (usando os valores obtidos):
- Tomo
(razão de pressão do primeiro estágio original), e . - Para cada caso
calcule a razão por sub‑estágio e a eficiência isentrópica de cada sub‑estágio por:
(A fórmula vem da relação entre trabalho isentrópico e politrópico já apresentada.)
Valores:
- m = 1 (sem divisão, caso original,
): - calculei anteriormente (passo 3/4 implícito):
ou .
- calculei anteriormente (passo 3/4 implícito):
- m = 2 (dividindo em 2 sub‑estágios iguais):
. - substituindo na fórmula obtemos
ou .
- substituindo na fórmula obtemos
- m = 3 (dividindo em 3 sub‑estágios iguais):
. - substituindo obtemos
(próximo de numericamente, na prática tende a 100% conforme explicado).
- substituindo obtemos
Interpretação do resultado numérico:
- A eficiência isentrópica calculada para cada sub‑estágio aumenta quando aumentamos
(de 1 para 2 para 3). O motivo matemático está na razão entre as funções potenciais e que aparecem na fórmula de : ao reduzir por sub‑estágio, o denominador diminui relativamente mais, fazendo a razão crescer, e multiplicando pelo fator que é fixo produz mais eficiência isentrópica por sub‑estágio. - Em termos físicos: pequenos saltos de pressão por estágio implicam menores aumentos de temperatura por estágio, menor trabalho irreversível por estágio e, portanto, cada estágio trabalha mais “perto” do ideal isentrópico — daí a maior
por sub‑estágio.
Observação prática e limite:
- O número crescente de sub‑estágios (com a mesma “qualidade” polytropic local) leva a
no limite, o que é uma idealização matemática. Na prática, custos, perdas mecânicas, problemas de projeto, eficiência de lâminas, equilíbrio de fluxo, necessidade de intercoolers, etc., limitam até onde é vantajoso aumentar o número de estágios.
Resposta
(a)
.
(b) Dividir o primeiro estágio em 2 sub‑estágios (cada um com
) aumenta a eficiência isentrópica de cada sub‑estágio (no exemplo numérico:
passa de
para
); dividir em 3 sub‑estágios aumenta ainda mais (
aproxima‑se de
). Em termos físicos: mais sub‑estágios → menor razão de pressão por estágio → menor aquecimento e irreversibilidades por estágio → maior eficiência isentrópica por estágio (no limite idealizado tende a 100%).