Um ciclo motor reversível recebe as quantidades de calor Q1 e Q2 de dois reservatórios térmicos que se encontram nas temperaturas T1 e T2, respectivamente. O ciclo motor rejeita Q3 para um terceiro reservatório térmico que se encontra a T3. Obtenha uma expressão para a eficiência térmica em função dos quocientes T1 / T3, T2 / T3 e q=Q2 / Q3.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que diz o enunciado e o que a gente vai usar.
Temos um ciclo reversível que recebe dois calores:
  • eta = WQ1 + Q2 de um reservatório a temperatura T1T3, T2T3 e q = Q2Q3 ,
  • de outro a ,
    e rejeita num terceiro reservatório a .
A gente quer a eficiência térmica
em função de
Conteúdo e o que precisamos:
  1. Segunda lei pro caso reversível (sumatório dos = 0).
  2. Definição de eficiência: .

Passo 2

Aplicando a segunda lei (ciclo reversível) temos
Q1T1 ;+;Q2T2;-;Q3T3;=;0
Dessa igualdade a gente pode isolar Q3T3 ;=;Q1T1+Q2T2 Longrightarrow Q3 ;=; T3T1,Q1 ;+;T3T2,Q2 :

Passo 3

Agora escreve a eficiência em função de eta =;1 ;-;Q3Q1+Q2 :
Substituindo da fórmula acima daria algo em termos de e , mas ainda faltaria ligar isso a .

Passo 4

Para usar x = Q1Q3, q = Q2Q3 , define também
1T3 =;x,1T1;+;q,1T2 Longrightarrow x = 1 - q,T3T2T3T1 =1 - q,1(T2/T3)1(T1/T3) =;T1T3,l(T2/T3 - qr),T2/T3,
Da equação Q1Q3 = x = a,(b - q)b, Q2Q3=q, vem, dividindo tudo por a = T1T3, b = T2T3 :
Q1+Q2Q3 = Q1Q3 + Q2Q3 = a(b - q)b ;+;q = ab + q,(b - a)b
Então
eta = 1 - Q3Q1+Q2 = 1 - 1Q1+Q2Q3 = 1 - b,ab + q,(b - a), = ab + q,(b - a) - b,ab + q,(b - a),
onde simplificamos escrevendo
ab + q(b-a) - b = b(a-1)+q(b-a)
Logo
Daí a eficiência
E simplificando o numerador:

Resposta

boxed eta ;=; b,l(a - 1r);+;q,l(b - ar) a,b;+;q,l(b - ar), onde a = T1T3,; b = T2T3,; q = Q2Q3

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