• Ex. 4 - Num ciclo padrão a ar Otto, toda transferência de calor q_{h}\left(Q_{D A}\right) ocorre a volume constante. Seria mais realístico admitir que parte de q_{h} ocorre a pressão c { }^{\text {te }}. Portanto, considere um ciclo idêntico ao de Otto, com exceção de que os primeiros quatro quintos do q_{h} total ocorrem a volume constante e que o quinto final ocorre a pressão constante. Admita que o q_{h} total deste ciclo seja 70 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg}, que a pressão e a temperatura no início do processo de compressão sejam iguais a 90 kPa e 20^{\circ} \mathrm{C}, e que a razão de compressão seja de 8:1. Calcule o rendimento térmico, os valores máximos para a pressão e a temperatura no ciclo proposto. C_{p}=(7 / 2) \mathrm{R}.

Passo 1

O enunciado descreve um ciclo de Otto modificado em que o calor de entrada total q_{h}=70\\ \mathrm{kJ/kg} é fornecido em duas etapas: os primeiros quatro quintos a volume constante e o quinto final a pressão constante. Temos p_{1}=90\\ \mathrm{kPa}, T_{1}=20^\circ\mathrm{C}=293\\ \mathrm{K}, razão de compressão r=8 e calor específico a pressão constante C_{p}=\tfrac{7}{2}R. Vamos calcular as temperaturas e pressões nos estados intermediários, o calor rejeitado, o rendimento térmico \eta e os valores máximos de temperatura e pressão.

Passo 2

Determinar os valores de R, C_{v} e \gamma. Para o ar assume-se
R = 0{,}287\\ \mathrm{kJ/(kg\,K)}.
Como C_{p}=\tfrac{7}{2}R, temos
C_{p}=3{,}5\,R=3{,}5\cdot0{,}287=1{,}0045\\ \mathrm{kJ/(kg\,K)},
e
C_{v}=C_{p}-R=1{,}0045 - 0{,}287=0{,}7175\\ \mathrm{kJ/(kg\,K)}.
O expoente adiabático é
\gamma = \frac{C_{p}}{C_{v}} = \frac{3{,}5}{2{,}5}=1{,}4.

Passo 3

Processo 1–2: compressão isentrópica de volume variável. Usamos
T_{2}=T_{1}\,r^{\gamma-1}, \quad p_{2}=p_{1}\,r^{\gamma}.
Substituindo,
T_{2}=293\cdot8^{0{,}4}\approx293\cdot2{,}297=673{,}2\\ \mathrm{K},
p_{2}=90\cdot8^{1{,}4}\approx90\cdot18{,}37=1\,653\\ \mathrm{kPa}.

Passo 4

Processo 2–3: fornecimento de \tfrac{4}{5}q_{h}=56\\ \mathrm{kJ/kg} a volume constante. Como
q_{v}=C_{v}\,(T_{3}-T_{2}),
têm-se
T_{3}=T_{2}+\frac{56}{C_{v}} =673{,}2+\frac{56}{0{,}7175}\approx751{,}3\\ \mathrm{K}.
A pressão em 3 cresce conforme
\frac{p_{3}}{p_{2}}=\frac{T_{3}}{T_{2}} \;\Longrightarrow\; p_{3}=1\,653\cdot\frac{751{,}3}{673{,}2}\approx1\,845\\ \mathrm{kPa}.

Passo 5

Processo 3–4: fornecimento de \tfrac{1}{5}q_{h}=14\\ \mathrm{kJ/kg} a pressão constante. Como
q_{p}=C_{p}\,(T_{4}-T_{3}),
então
T_{4}=T_{3}+\frac{14}{C_{p}} =751{,}3+\frac{14}{1{,}0045}\approx765{,}2\\ \mathrm{K},
e
p_{4}=p_{3}\approx1\,845\\ \mathrm{kPa}.
Aqui ocorrem a temperatura e a pressão máximas do ciclo:
T_{\max}=T_{4}=765{,}2\\ \mathrm{K}, \quad p_{\max}=p_{4}=1\,845\\ \mathrm{kPa}.

Passo 6

Processo 4–5: expansão isentrópica de volta ao volume inicial. Não precisamos do p_{5}, mas calculamos a temperatura em 5:
T_{5}=T_{4}\,r^{-(\gamma-1)} =765{,}2\cdot8^{-0{,}4}\approx333{,}2\\ \mathrm{K}.
Processo 5–1: rejeição de calor a volume constante. O calor rejeitado é
q_{\mathrm{out}}=C_{v}\,(T_{5}-T_{1}) =0{,}7175\,(333{,}2-293) \approx28{,}8\\ \mathrm{kJ/kg}.

Passo 7

O rendimento térmico é
\eta = 1 - \frac{q_{\mathrm{out}}}{q_{h}} =1 - \frac{28{,}8}{70} \approx0{,}588\quad\bigl(58{,}8\%\bigr).

Resposta

\eta\approx58{,}8\%
p_{\max}\approx1\,845\\ \mathrm{kPa}
T_{\max}\approx765{,}2\\ \mathrm{K}

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