Um ciclo de potência operando entre dois reservatórios térmicos recebe energia Q_{H} por transferência de calor de um reservatório a T_{H}=2000 \mathrm{~K} e descarta Q_{L} por transferência de calor para um reservatório a T_{L}=400 K. Detemine, para cada um dos seguintes casos, se o ciclo opera irreversível, reversivelmente ou se é impossível.
Q_{H}=1000 \mathrm{~kJ}, W_{\text {ciclo }}=850 \mathrm{~kJ}

Passo 1

O enunciado nos dá (peguei todos os números do enunciado):
  • Q_{H}=1000\\ \mathrm{kJ} (calor recebido do reservatório quente).
  • T_{H}=2000\\ \mathrm{K} (temperatura do reservatório quente).
  • T_{L}=400\\ \mathrm{K} (temperatura do reservatório frio).
  • W_{\text{ciclo}}=850\\ \mathrm{kJ} (trabalho líquido produzido pelo ciclo).
O que se pede: determinar se o ciclo, com esses dados, opera de forma irreversível, reversível ou se é impossível (isto é, se viola as leis da termodinâmica).

Passo 2

Aplicar a primeira lei (conservação de energia) para um ciclo termodinâmico: o trabalho produzido em um ciclo é a diferença entre o calor recebido e o calor rejeitado,
W_{\text{ciclo}}=Q_{H}-Q_{L}.
Desse modo podemos obter Q_{L} a partir dos dados:
Q_{L}=Q_{H}-W_{\text{ciclo}}=1000\\ \mathrm{kJ}-850\\ \mathrm{kJ}=150\\ \mathrm{kJ}.
Portanto, com os números dados, o ciclo rejeitaria Q_{L}=150\\ \mathrm{kJ} para o reservatório frio.

Passo 3

Agora precisamos comparar esse resultado com o limite imposto pela Segunda Lei (o ciclo reversível ideal — ciclo de Carnot — dá o máximo de trabalho possível entre dois reservatórios).
Definições e fórmulas importantes (explicadas com calma):
  • Eficiência de um motor térmico qualquer é a fração da energia térmica convertida em trabalho:
\eta=\frac{W_{\text{ciclo}}}{Q_{H}}.
  • Para um ciclo reversível operando entre dois reservatórios a temperaturas T_{H} e T_{L}, a eficiência máxima (eficiência de Carnot) é
\eta_{\text{rev}}=1-\frac{T_{L}}{T_{H}}.
Essa fórmula vem do fato de que, para um processo reversível entre dois reservatórios, a entropia trocada se anula: \dfrac{Q_{H}}{T_{H}}=\dfrac{Q_{L}}{T_{L}}, e daí \eta=1-Q_{L}/Q_{H}=1-T_{L}/T_{H}.
Calculemos \eta_{\text{rev}} com as temperaturas dadas:
\eta_{\text{rev}}=1-\frac{400}{2000}=1-0{,}2=0{,}8\quad(80\%).
Isso significa que nenhum ciclo entre esses dois reservatórios pode ter eficiência maior que 80\%.
O trabalho máximo reversível possível com Q_{H}=1000\\ \mathrm{kJ} é
W_{\max}^{\text{rev}}=\eta_{\text{rev}}\,Q_{H}=0{,}8\times1000\\ \mathrm{kJ}=800\\ \mathrm{kJ}.
E o calor rejeitado em um ciclo reversível seria
Q_{L}^{\text{rev}}=Q_{H}-W_{\max}^{\text{rev}}=1000\\ \mathrm{kJ}-800\\ \mathrm{kJ}=200\\ \mathrm{kJ},
ou, usando diretamente a relação reversível Q_{L}^{\text{rev}}=Q_{H}\dfrac{T_{L}}{T_{H}}=1000\times\dfrac{400}{2000}=200\\ \mathrm{kJ}.
Importante: para qualquer ciclo real (irreversível) vale W_{\text{ciclo}}\le W_{\max}^{\text{rev}} e Q_{L}\ge Q_{L}^{\text{rev}}. O ciclo reversível atinge igualdade; ciclos irreversíveis produzem menos trabalho e rejeitam mais calor.

Passo 4

Compare agora os valores obtidos com os valores dados:
  • Trabalho dado: W_{\text{ciclo}}=850\\ \mathrm{kJ}.
  • Trabalho máximo reversível: W_{\max}^{\text{rev}}=800\\ \mathrm{kJ}.
Observação: o valor dado W_{\text{ciclo}}=850\\ \mathrm{kJ} é maior que o máximo reversível 800\\ \mathrm{kJ}. Isso já é um sinal de contradição com a Segunda Lei: nenhum ciclo pode produzir mais trabalho do que o ciclo reversível entre os mesmos reservatórios.
Verificação adicional usando entropia (a forma clássica da Segunda Lei):
a entropia total do universo para o processo de troca de calor com dois reservatórios é
\Delta S_{\text{univ}}=-\frac{Q_{H}}{T_{H}}+\frac{Q_{L}}{T_{L}}.
Substituindo os valores (atenção às unidades: Q em \mathrm{kJ}, T em \mathrm{K}, o resultado fica em \mathrm{kJ}/\mathrm{K}):
\Delta S_{\text{univ}}=-\frac{1000}{2000}+\frac{150}{400}=-0{,}5+0{,}375=-0{,}125\\ \mathrm{kJ/K}.
A Segunda Lei exige \Delta S_{\text{univ}}\ge 0. Aqui obtivemos \Delta S_{\text{univ}}<0, isto é, queda de entropia do universo — impossível fisicamente. Portanto os números fornecidos violam diretamente a Segunda Lei.

Passo 5

Síntese didática e interpretação prática:
  • A primeira lei permitiu calcular Q_{L}=150\\ \mathrm{kJ}.
  • A Segunda Lei (via eficiência de Carnot ou balanço de entropia) mostra que o máximo de trabalho possível com Q_{H}=1000\\ \mathrm{kJ} entre T_{H}=2000\\ \mathrm{K} e T_{L}=400\\ \mathrm{K} é 800\\ \mathrm{kJ}; qualquer valor de trabalho maior que esse ou qualquer Q_{L} menor que 200\\ \mathrm{kJ} é proibido.
  • Os valores dados ( W_{\text{ciclo}}=850\\ \mathrm{kJ} e Q_{L}=150\\ \mathrm{kJ} implicam eficiência maior que a de Carnot e entropia do universo negativa, portanto não correspondem a um ciclo fisicamente realizável.

Resposta

Impossível.

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