( 3,4 pontos) Consideremos um refrigerador de 18000 \mathrm{Btu} / \mathrm{h} seja usado para resfriar uma sala, mantendo-a a uma temperatura de 20,0^{\circ} \mathrm{C}. A sala é no Rio de Janeiro e o verão em questão, mantém o a temperatura externa a 44,0^{\circ} \mathrm{C} . \mathrm{O} coeficiente de desempenho do refrigerador é um percentual do coeficiente de desempenho de um refrigerador de Carnot operando entre as mesmas temperaturas. Qual é esse percentual se a potência do motor que mantém o refrigerador funcionando é 3,51.10^{3} \mathrm{Btu} / \mathrm{h} ?

Passo 1

O enunciado pede: determinar o percentual do coeficiente de desempenho (COP) real do refrigerador em relação ao COP de Carnot, quando se tem os dados abaixo.
Dados fornecidos:
  • Efeito frigorífico (capacidade de resfriamento): \dot{Q}_L = 18000\\ \mathrm{Btu/h}.
  • Potência do motor (trabalho de entrada): \dot{W}_{in} = 3{,}51\times10^{3}\\ \mathrm{Btu/h}.
  • Temperatura interna (reservatório frio): T_L = 20{,}0^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura externa (reservatório quente): T_H = 44{,}0^\circ\mathrm{C}.
O que se pede: calcular o percentual
\text{Percentual} = 100\%\times\frac{\mathrm{COP}_{\text{real}}}{\mathrm{COP}_{\text{Carnot}}}.

Passo 2

Definição e fórmula do COP de um refrigerador (conceito): o coeficiente de desempenho mede quantas unidades de calor retiradas do ambiente frio ( \dot{Q}_L) são obtidas por unidade de trabalho elétrica/ mecânico fornecido ( \dot{W}_{in}). Ou seja,
\mathrm{COP}_{\text{real}}=\frac{\dot{Q}_L}{\dot{W}_{in}}.
Aqui \dot{Q}_L e \dot{W}_{in} estão em mesma unidade (Btu/h), então a razão é adimensional.

Passo 3

Cálculo do \mathrm{COP}_{\text{real}}. Colocando os números:
\mathrm{COP}_{\text{real}}=\frac{18000}{3{,}51\times10^{3}}.
Simplificando a divisão: dividir numerador e denominador por 10 \dfrac{1800}{351}. Dividindo ambos por 9 obtém-se \dfrac{200}{39}. Agora a divisão:
\frac{200}{39}\approx 5{,}128205\ldots
Logo
\mathrm{COP}_{\text{real}}\approx 5{,}128.

Passo 4

Fórmula do COP de Carnot para refrigerador e justificativa breve: para um ciclo reversível entre um reservatório frio à temperatura absoluta T_L e um quente à temperatura absoluta T_H, vale a relação
\frac{Q_H}{Q_L}=\frac{T_H}{T_L}.
O trabalho fornecido é W=Q_H-Q_L. Então o COP de Carnot é
\mathrm{COP}_{\text{Carnot}}=\frac{Q_L}{W}=\frac{Q_L}{Q_H-Q_L} =\frac{1}{\dfrac{Q_H}{Q_L}-1} =\frac{1}{\dfrac{T_H}{T_L}-1} =\frac{T_L}{T_H-T_L}.
Observação importante: as temperaturas devem estar em Kelvin (escala absoluta) para usar essa relação.

Passo 5

Converter temperaturas para Kelvin e calcular \mathrm{COP}_{\text{Carnot}}.
Converter:
T_L=20{,}0^\circ\mathrm{C}=273{,}15+20{,}0=293{,}15\\ \mathrm{K}, \qquad T_H=44{,}0^\circ\mathrm{C}=273{,}15+44{,}0=317{,}15\\ \mathrm{K}.
Aplicando a fórmula:
\mathrm{COP}_{\text{Carnot}}=\frac{T_L}{T_H-T_L}=\frac{293{,}15}{317{,}15-293{,}15}=\frac{293{,}15}{24{,}00}.
Fazendo a divisão:
\mathrm{COP}_{\text{Carnot}}\approx 12{,}2146.

Passo 6

Calcular o percentual pedido: razão entre os COPs vezes 100\%.
\text{Percentual}=100\%\times\frac{\mathrm{COP}_{\text{real}}}{\mathrm{COP}_{\text{Carnot}}} =100\%\times\frac{5{,}128205\ldots}{12{,}2146\ldots}.
Fazendo a conta:
\frac{5{,}128205}{12{,}2146}\approx 0{,}4199\ldots
Portanto
\text{Percentual}\approx 41{,}99\%\approx 42{,}0\%.

Passo 7

Interpretação curta e ânimo: o refrigerador real está operando com cerca de 42{,}0\% do desempenho ideal máximo (Carnot) entre essas temperaturas — isso é razoável na prática, já que perdas irreversíveis e limitações do ciclo real reduzem bastante o COP ideal. Vai dar tudo certo na prova; concentre-se em memorizar as fórmulas e o porquê de usar Kelvin.

Resposta

42{,}0\%

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