2,00 mols de um gás ideal ocupam um volume de 0,135 \mathrm{~m}^{3} a uma pressão de 2,00 \cdot 10^{5} \mathrm{~Pa}. Ele passa por uma transformação isovolumétrica até atingir uma pressão de 3,43.10^{5} \mathrm{~Pa}.
Determine os calores específicos a pressão constante e volume constante para os gases monoatômicos, diatômicos e poliatômicos. Mostre a contagem dos graus de liberdade que levam a esses resultados (quem optou por fazer a questão 2 , não precisa repetir esse item. A contagem de pontos usará o item b da questão 2).
b) Se o gás envolvido nessa questão é poliatômico, qual o calor trocado pelo gás?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados:
  • Quantidade de substância: n=2{,}00\\ \mathrm{mol}.
  • Volume constante durante a transformação: V=0{,}135\\ \mathrm{m^{3}}.
  • Pressão inicial: P_{1}=2{,}00\cdot10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
  • Pressão final: P_{2}=3{,}43\cdot10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
    As perguntas são:
  • Determinar os calores específicos (molares) a pressão constante C_{P} e a volume constante C_{V} para gases monoatômicos, diatômicos e poliatômicos, mostrando a contagem dos graus de liberdade que levam a esses resultados.
  • b) Se o gás for poliatômico, calcular o calor trocado pelo gás durante a transformação isovolumétrica (ou seja, encontrar Q para o processo).

Passo 2

Teoria e fórmulas que vamos usar (explicação didática e passo a passo):
  • Equipartição de energia (versão simples usada em termodinâmica de gases ideais): cada grau de liberdade quadrático contribui com uma energia média de \tfrac{1}{2}k_{B}T por partícula, ou por mol contribui com \tfrac{1}{2}R T. Logo, se uma molécula tem f graus de liberdade efetivos, a capacidade calorífica molar a volume constante é
C_{V}=\frac{f}{2}R.
Aqui:
  • f = número de graus de liberdade (translação + rotação +, se ativadas, vibrações).
  • R = constante universal dos gases =8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.
  • A capacidade molar a pressão constante relaciona-se com C_{V} por
C_{P}=C_{V}+R,
porque ao aquecer a pressão constante o gás realiza trabalho P\Delta V que, por mol, corresponde a R\Delta T.
  • Observação física sobre f (contagem): para temperaturas típicas de laboratório onde vibrações de ligações não estão excitadas:
    • Monoatômico: apenas movimentos translacionais — f=3.
    • Diatômico (não excitando modos vibracionais): 3 translações + 2 rotações (o eixo que liga os dois átomos não conta como rotação em moléculas ideais) — f=5.
    • Poliatômico (molécula não linear típica, ex.: H2O, CH4): 3 translações + 3 rotações = f=6.
      Essas são as escolhas padrão para a maioria dos exercícios introdutórios.

Passo 3

Cálculo para o gás monoatômico (contagem de graus de liberdade e cálculo numérico):
  • Contagem: f=3 (apenas translação).
  • Usando R=8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}:
C_{V,\text{mono}}=\frac{f}{2}R=\frac{3}{2}R=1{,}5\cdot8{,}314=12{,}471\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.
Arredondando razoavelmente:
C_{V,\text{mono}} \approx 12{,}47\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.
C_{P,\text{mono}}=C_{V,\text{mono}}+R \approx 12{,}471+8{,}314=20{,}785\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)},
ou
C_{P,\text{mono}} \approx 20{,}79\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.
(Explicação curta: C_{V} conta energia interna por grau de liberdade; C_{P} é maior porque inclui o trabalho extra necessário para manter a pressão constante.)

Passo 4

Cálculo para o gás diatômico (contagem e valores):
  • Contagem: f=5 (3 translações + 2 rotações; vibrações negligenciadas).
  • Cálculos:
C_{V,\text{di}}=\frac{5}{2}R=2{,}5\cdot8{,}314=20{,}785\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.
C_{P,\text{di}}=C_{V,\text{di}}+R=20{,}785+8{,}314=29{,}099\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.
Arredondando:
C_{V,\text{di}} \approx 20{,}79\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)},\qquad C_{P,\text{di}} \approx 29{,}10\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.

Passo 5

Cálculo para o gás poliatômico (contagem e valores):
  • Contagem (molécula não linear típica): f=6 (3 translações + 3 rotações).
  • Cálculos:
C_{V,\text{poli}}=\frac{6}{2}R=3\cdot8{,}314=24{,}942\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.
C_{P,\text{poli}}=C_{V,\text{poli}}+R=24{,}942+8{,}314=33{,}256\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.
Arredondando:
C_{V,\text{poli}} \approx 24{,}94\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)},\qquad C_{P,\text{poli}} \approx 33{,}26\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.

Passo 6

Cálculo do calor trocado se o gás for poliatômico (parte b):
  • Para processo isovolumétrico o trabalho é nulo e o calor trocado é
Q=n\,C_{V}\,\Delta T,
onde \Delta T=T_{2}-T_{1}.
  • Usando a equação do gás ideal \,PV=nRT, com V constante temos
\Delta T=\frac{(P_{2}-P_{1})V}{nR}.
  • Substituindo em Q:
Q=n\,C_{V}\,\frac{(P_{2}-P_{1})V}{nR}=C_{V}\,\frac{(P_{2}-P_{1})V}{R}.
  • Como C_{V}=\dfrac{f}{2}R, a expressão simplifica muito porque o R cancela:
Q=\frac{f}{2}(P_{2}-P_{1})V.
Isto é útil: para isocórico, Q depende diretamente de f, da variação de pressão e do volume.
  • Para poliatômico adotamos f=6, então
Q=\frac{6}{2}(P_{2}-P_{1})V=3\,(P_{2}-P_{1})V.
  • Calcule \Delta P:
\Delta P=P_{2}-P_{1}=3{,}43\cdot10^{5}-2{,}00\cdot10^{5}=1{,}43\cdot10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
  • Agora (P_{2}-P_{1})V=(1{,}43\cdot10^{5})(0{,}135)=1{,}9305\cdot10^{4}\\ \mathrm{J}.
  • Finalmente
Q=3\cdot1{,}9305\cdot10^{4}=5{,}7915\cdot10^{4}\\ \mathrm{J}.
Arredondando para três algarismos significativos (consistentes com os dados):
Q \approx 5{,}79\cdot10^{4}\\ \mathrm{J}.
  • Interpretação rápida: Q>0 significa que calor foi fornecido ao gás (aumentou a temperatura), coerente com a pressão ter aumentado em volume fixo.

Resposta

Monoatômico: C_{V}=12{,}47\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)},\; C_{P}=20{,}79\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}
Diatômico: C_{V}=20{,}79\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)},\; C_{P}=29{,}10\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}
Poliatômico: C_{V}=24{,}94\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)},\; C_{P}=33{,}26\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}
b) Q\approx5{,}79\cdot10^{4}\\ \mathrm{J}

Exercícios relacionados