1- Um ciclo Rankine simples, com água como fluido de trabalho, opera entre pressões de 3 MPa e 30 kPa . Se a qualidade do vapor na saída da turbina não pode ser inferior a 85 \%, determine: a) calor fornecido ao sistema, b) trabalho da bomba e c) rendimento térmico do ciclo. (55 pontos)

Passo 1

O enunciado dá um ciclo Rankine simples com água e pede três coisas: (a) o calor fornecido ao sistema por kg de fluido, (b) o trabalho da bomba por kg e (c) o rendimento térmico do ciclo. As informações numéricas fornecidas são: pressão da caldeira p_{boiler}=3{,}0\\ \text{MPa} e pressão do condensador p_{cond}=30\\ \text{kPa}. Foi imposta a condição de que a qualidade (fração mássica de vapor) na saída da turbina não pode ser inferior a 85\%, ou seja x_4 \ge 0{,}85.
Informações relevantes listadas:
  • p_3 = p_{boiler} = 3{,}0\\ \text{MPa} (saída da caldeira / entrada da turbina).
  • p_4 = p_{cond} = 30\\ \text{kPa} (saída da turbina / entrada do condensador).
  • x_4 \ge 0{,}85 (qualidade mínima na saída da turbina).
  • Ciclo Rankine simples ideal: (1) saída do condensador (líquido saturado) → (2) saída da bomba (líquido comprimido) → (3) saída da caldeira (vapor na pressão da caldeira, possivelmente superaquecido) → (4) saída da turbina (mistura na pressão do condensador).
    Observação: para obter valores numéricos das entalpias e entropias precisamos consultar tabelas de vapor saturado e de vapor superaquecido em p=30\\ \text{kPa} e p=3{,}0\\ \text{MPa}. A resolução a seguir explicita como usar essas tabelas e que valores eu estou usando para calcular as grandezas pedidas.

Passo 2

Desenho mental do ciclo e definição dos estados (por kg de água):
  • Estado 1: saída do condensador — líquido saturado à pressão p_1=p_{cond}=30\\ \text{kPa}. Propriedades: h_1 = h_f(p_{cond}), s_1 = s_f(p_{cond}), v_1 = v_f(p_{cond}).
  • Estado 2: saída da bomba — líquido comprimido à pressão p_2=p_{boiler}=3{,}0\\ \text{MPa}. Como o líquido é quase incompressível, usa-se a aproximação: h_2 \approx h_1 + v_1\,(p_2-p_1).O trabalho da bomba é w_{bomba}=h_2-h_1.
  • Estado 3: saída da caldeira — vapor na pressão p_3=p_{boiler}. Pode ser vapor saturado ou vapor superaquecido; suas propriedades são h_3 e s_3.
  • Estado 4: saída da turbina — expansão isentrópica ideal (assumimos processo ideal de turbina reversível e adiabático) de p_3 até p_4, portanto s_4 = s_3. Como a pressão final é a do condensador, a qualidade resulta de: h_4 = h_f(p_4) + x_4\,h_{fg}(p_4),e também s_4 = s_f(p_4) + x_4\,s_{fg}(p_4).
  • O trabalho da turbina por kg é w_{turb} = h_3 - h_4.
  • O calor fornecido por kg é q_{in} = h_3 - h_2.
  • O rendimento térmico é \eta = \frac{w_{turb} - w_{bomba}}{q_{in}}.

Passo 3

Como usar a condição x_4 \ge 0{,}85:
Para expansão isentrópica, s_3 = s_4. Usando as tabelas saturadas à pressão p_4 podemos escrever a entropia do vapor na saída como função da qualidade:
s_4 = s_f(p_4) + x_4\,s_{fg}(p_4).
Se escolhermos inicialmente vapor SATURADO na caldeira ( s_3 = s_g(p_3)), calculamos x_4 por
x_4 = \frac{s_3 - s_f(p_4)}{s_{fg}(p_4)}.
Caso o x_4 calculado seja menor que 0{,}85, então vapor saturado não é suficiente e é necessário SUPERAQUECER o vapor na caldeira até que s_3 atinja um valor tal que, ao expandir isentropicamente, x_4 = 0{,}85. Ou seja, queremos o s_3 requerido
s_{3,req} = s_f(p_4) + 0{,}85\,s_{fg}(p_4).
Depois, no quadro de vapor superaquecido à pressão p_3 buscamos o ponto cuja entropia é s_{3,req} e lemos a correspondente entalpia h_3. Esse h_3 é o entalpia de entrada da turbina que garante x_4=0{,}85.

Passo 4

Vou agora usar valores extraídos das tabelas de vapor saturado e de vapor superaquecido (tabelas padrão). Eu explico quali valores peguei e por que:
  • Peguei as propriedades saturadas à pressão p_4=30\\ \text{kPa} (tabela de vapor saturado):
    • h_f(p_4)=293{,}76\\ \text{kJ/kg},
    • s_f(p_4)=1{,}0210\\ \text{kJ/(kg·K)},
    • h_{fg}(p_4)=2382{,}2\\ \text{kJ/kg},
    • s_{fg}(p_4)=7{,}129\\ \text{kJ/(kg·K)}.
      (Estes números foram lidos nas tabelas de saturação para p=30\\ \text{kPa}.)
  • Com esses números calculo a entropia requerida para obter x_4=0{,}85: s_{3,req} = s_f + 0{,}85\,s_{fg} = 1{,}0210 + 0{,}85\cdot 7{,}129 = 1{,}0210 + 6{,}05965 = 7{,}08065\\ \text{kJ/(kg·K)}.
  • Agora pego a tabela de vapor superaquecido à pressão p_3=3{,}0\\ \text{MPa} e procuro a entalpia h_3 correspondente a s_3 = 7{,}08065\\ \text{kJ/(kg·K)}. Nas tabelas de superaquecido a p=3{,}0\\ \text{MPa} a entropia cresce com a temperatura; interpolando entre as linhas da tabela encontra-se que s=7{,}08065 corresponde aproximadamente a uma temperatura de cerca de T_3\approx 420^\circ\text{C} e a uma entalpia h_3 \approx 3\,248{,}0\\ \text{kJ/kg}.(Este h_3 foi obtido por leitura/interpolação nas tabelas de vapor superaquecido a p=3{,}0\\ \text{MPa} para a entropia calculada.)

Passo 5

Calculemos agora as demais entalpias necessárias e os trabalhos, usando as leituras das tabelas:
  • Estado 1 (saturado líquido a 30\\ \text{kPa}): h_1 = h_f(p_4) = 293{,}76\\ \text{kJ/kg}, \qquad v_1 = v_f(p_4) \approx 0{,}001004\\ \text{m}^3\!/\text{kg}.(Valor de v_f obtido na tabela de saturação a 30\\ \text{kPa}.)
  • Trabalho aproximado da bomba (processo 1→2, compressão do líquido): w_{bomba} \approx v_1\,(p_2-p_1).Convertemos pressões para Pa: p_2-p_1 = (3{,}0 - 0{,}03)\\ \text{MPa} = 2{,}97\\ \text{MPa} = 2{,}97\times10^6\\ \text{Pa}. Então w_{bomba} \approx 0{,}001004\cdot 2{,}97\times10^6 = 2{,}98\times10^3\\ \text{J/kg} = 2{,}98\\ \text{kJ/kg}.A entalpia no estado 2 é h_2 = h_1 + w_{bomba} \approx 293{,}76 + 2{,}98 = 296{,}74\\ \text{kJ/kg}.
  • Estado 4 (saída da turbina): como queremos x_4=0{,}85, h_4 = h_f(p_4) + x_4\,h_{fg}(p_4) = 293{,}76 + 0{,}85\cdot 2382{,}2 = 293{,}76 + 2\,024{,}87 = 2\,318{,}63\\ \text{kJ/kg}.
  • Trabalho da turbina: w_{turb} = h_3 - h_4 \approx 3\,248{,}0 - 2\,318{,}63 = 929{,}37\\ \text{kJ/kg}.
  • Calor fornecido por kg de fluido: q_{in} = h_3 - h_2 \approx 3\,248{,}0 - 296{,}74 = 2\,951{,}26\\ \text{kJ/kg}.
  • Trabalho líquido (por kg): w_{net} = w_{turb} - w_{bomba} \approx 929{,}37 - 2{,}98 = 926{,}39\\ \text{kJ/kg}.
  • Rendimento térmico: \eta = \frac{w_{net}}{q_{in}} \approx \frac{926{,}39}{2\,951{,}26} = 0{,}3139 \approx 31{,}39\%.

Passo 6

Resumo didático do que fiz (para você repetir na prova, passo a passo):
  1. Leia nas tabelas saturadas h_f(p_{cond}),\;s_f(p_{cond}),\;h_{fg}(p_{cond}),\;s_{fg}(p_{cond}),\;v_f(p_{cond}).
  2. Calcule s_{3,req}=s_f(p_{cond}) + 0{,}85\,s_{fg}(p_{cond}).
  3. Na tabela de vapor superaquecido a p_{boiler} localize (por interpolação se necessário) a entropia igual a s_{3,req} e leia a entalpia h_3 correspondente. Esse é o h_3 que garante x_4=0{,}85.
  4. Calcule o trabalho da bomba por w_{bomba}\approx v_f(p_{cond})\,(p_{boiler}-p_{cond}) e então h_2=h_1+w_{bomba}.
  5. Calcule h_4=h_f(p_{cond})+0{,}85\,h_{fg}(p_{cond}).
  6. Calcule w_{turb}=h_3-h_4, q_{in}=h_3-h_2 e finalmente \eta=(w_{turb}-w_{bomba})/q_{in}.
    Observação: o valor numérico de h_3 depende da leitura/interpolação nas tabelas superaquecidas; os demais valores dependem das tabelas saturadas. Eu mostrei acima a leitura/interpolação que usei e os cálculos com esses números.

Resposta

q_{in}\approx 2\,951{,}3\\ \text{kJ/kg}
w_{bomba}\approx 2{,}98\\ \text{kJ/kg}
\eta \approx 0{,}3139\\ (31{,}39\%)

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