Um reservatório rígido contém água saturada a 1 bar. Determinar a porcentagem em volume de líquido neste estado de modo que a água passe pelo ponto crítico ao ser aquecida.

Passo 1

O enunciado pede a porcentagem em volume de líquido, num reservatório rígido que contém água saturada a 1\\ \text{bar}, de tal forma que, ao aquecer à pressão variável (mas com volume constante), a água passe pelo ponto crítico.
Informações relevantes fornecidas ou necessárias (tomadas de tabelas/dados conhecidos):
\;1\\ \text{bar}=0{,}1\\ \text{MPa} (pressão inicial, água saturada).
Propriedades saturadas da água a 1\\ \text{bar} (valores retirados da tabela de vapor d’água):
v_f(1\\ \text{bar}) = 0{,}001043\\ \text{m}^3/\text{kg}
v_g(1\\ \text{bar}) = 1{,}694\\ \text{m}^3/\text{kg}
Propriedade do ponto crítico da água (valor conhecido):
v_c = 0{,}003106\\ \text{m}^3/\text{kg}
O que precisamos encontrar: a porcentagem em volume ocupada pelo líquido inicialmente, isto é, \dfrac{V_\ell}{V_{\text{total}}}\times 100\%, tal que, ao aquecer a volume constante, a mistura atinja o ponto crítico.

Passo 2

Explicação física e estratégia (passo didático):
  • Em um reservatório rígido o volume total V é constante; portanto o volume específico médio da mistura v também é constante (pois v=V/m, com m massa fixa).
  • Para que a água, ao ser aquecida à pressão variável mas com volume fixo, “passe pelo ponto crítico”, é necessário que o volume específico médio da mistura seja igual ao volume específico do ponto crítico, isto é:
v = v_c.
  • Assim, precisamos escolher as frações de líquido/vapor iniciais de modo que o v da mistura corresponda a v_c.

Passo 3

Definição de qualidade e equação da mistura (aula curta sobre o conceito):
  • Qualidade x é a fração mássica de vapor na mistura: x=\dfrac{m_g}{m}. Então a fração mássica de líquido é 1-x.
  • O volume específico médio de uma mistura líquido-vapor é dado por
v = x\,v_g + (1-x)\,v_f,
onde v_g e v_f são os volumes específicos do vapor saturado e do líquido saturado, respectivamente.
  • No nosso caso devemos impor v=v_c. Portanto:
v_c = x\,v_g + (1-x)\,v_f.

Passo 4

Resolver para a qualidade x (passo a passo algébrico):
Isolando x na equação anterior obtemos a fórmula padrão
x = \dfrac{v_c - v_f}{v_g - v_f}.
Agora substituímos os valores (todos em \text{m}^3/\text{kg}):
v_c - v_f = 0{,}003106 - 0{,}001043 = 0{,}002063,
v_g - v_f = 1{,}694 - 0{,}001043 = 1{,}692957.
Logo
x = \dfrac{0{,}002063}{1{,}692957} \approx 0{,}001219.
Interpretação: a fração mássica de vapor inicial é aproximadamente x\approx 0{,}001219, ou seja cerca de 0{,}1219\% em massa (extremamente pequena massa de vapor).

Passo 5

Passar da fração mássica para a porcentagem em volume de líquido (explicação e cálculo):
  • Volume total da mistura V = m\,v. Volume do líquido V_\ell = m(1-x)v_f. Portanto a fração volumétrica ocupada pelo líquido é
\text{fração volumétrica do líquido} \;=\; \dfrac{V_\ell}{V} \;=\; \dfrac{m(1-x)v_f}{m v} \;=\; \dfrac{(1-x)\,v_f}{v}.çãéí
  • No nosso caso v=v_c. Logo
\alpha_\ell \;=\; \dfrac{(1-x)\,v_f}{v_c}.
Substituindo x, v_f e v_c:
1-x = 1 - 0{,}001219 = 0{,}998781,
(1-x)\,v_f = 0{,}998781 \times 0{,}001043 = 0{,}00104173\\ \text{m}^3/\text{kg},
\alpha_\ell = \dfrac{0{,}00104173}{0{,}003106} \approx 0{,}3353.
Convertendo para porcentagem:
\alpha_\ell \times 100\% \approx 33{,}53\%.

Passo 6

Interpretação final e dica prática:
  • Mesmo com quase toda a massa sendo líquido (fração mássica de vapor é apenas \approx 0{,}12\%), o vapor ocupa a maior parte do volume por ter volume específico muito maior; por isso a fração em volume de líquido fica em torno de um terço.
  • Em prova: o procedimento rápido é lembrar que, em aquecimento a volume constante, para atingir o crítico precisa que v_{\text{médio}}=v_cé; depois aplicar v=xv_g+(1-x)v_f e transformar em fração volumétrica por \dfrac{(1-x)v_f}{v_c}.

Resposta

33{,}5\%

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