9- Um cilindro rígido com volume 0,5 \mathrm{~m}^{3} contém 0,4 \mathrm{~kg} de água até que se atinja a temperatura de 100^{\circ} \mathrm{C}. Pede-se para calcular a energia transferida por calor no processo.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz esta pergunta:
  • Dados fornecidos: V=0{,}5\\ \mathrm{m^{3}},\qquad m=0{,}4\\ \mathrm{kg},\qquad T_2=100^\circ\mathrm{C}.
  • Pergunta: calcular a energia transferida por calor no processo (ou seja, Q).
Observação importante: o enunciado não informa a temperatura inicial T_1 do conteúdo do cilindro. Sem T_1 não existe um único valor numérico de Q. Para poder prosseguir eu vou assumir uma hipótese razoável e comum em exercícios: a água começa à temperatura ambiente T_1=20^\circ\mathrm{C}. Vou explicitar essa hipótese quando for usada; se na sua prova o T_1 for outro valor, o procedimento é o mesmo, só mudam os números.

Passo 2

Princípio físico que vamos usar (aula rápida e prática):
  • Para um sistema fechado (massa fixa) a primeira lei da termodinâmica diz
    \Delta E = Q - W.
    Aqui \Delta E é a variação da energia total do sistema; para processos em que não há variação apreciável de energia cinética ou potencial, \Delta E reduz-se à variação da energia interna \Delta U.
  • Num cilindro rígido a parede não se desloca, logo o trabalho de fronteira (trabalho de pressão-volume) é
    W=\int p\,dV=0.
    Portanto, para este problema
    Q=\Delta U.
  • Como estamos lidando com uma massa m de água, escrevemos
    Q = \Delta U = m\,(u_2-u_1),
    onde u é a energia interna específica (energia interna por unidade de massa), u_1 no estado inicial e u_2 no estado final.
Explicação didática: em palavras, o calor transferido passa a aumentar a energia interna da água; como o volume é fixo não há trabalho de expansão, então todo calor entra como energia interna.

Passo 3

Determinar os estados inicial e final para calcular u_1 e u_2:
  • Hipótese de trabalho: tomo T_1=20^\circ\mathrm{C} (água líquida comprimida a temperatura ambiente). Essa é uma hipótese comum quando a questão não dá T_1.
  • Calcular o volume específico disponível para a água:
    v=\frac{V}{m}=\frac{0{,}5}{0{,}4}=1{,}25\\ \mathrm{m^{3}/kg}.
  • No estado final sabemos T_2=100^\circ\mathrm{C}. Para caracterizar o estado final precisamos comparar v com os volumes específicos saturados a 100^\circ\mathrm{C}:
    (valores retirados das tabelas de vapor saturado)
    v_f(100^\circ\mathrm{C})\approx0{,}001043\\ \mathrm{m^{3}/kg},\qquad v_g(100^\circ\mathrm{C})\approx1{,}694\\ \mathrm{m^{3}/kg}.
  • Como
    v_f < v = 1{,}25 < v_g,
    o estado final é uma mistura líquido–vapor saturada à temperatura de 100^\circ\mathrm{C}. Ou seja, haverá parte em líquido e parte em vapor (qualidade x entre 0 e 1).

Passo 4

Calcular a qualidade x da mistura no estado final:
  • Definição: para mistura saturada
    v = (1-x)\,v_f + x\,v_g \quad\Rightarrow\quad x=\frac{v-v_f}{v_g-v_f}.
  • Como v_f é muito pequeno frente a v_g, uma boa aproximação é x\approx v/v_g, mas vou usar a fórmula completa:
    x=\frac{1{,}25-0{,}001043}{1{,}694-0{,}001043} =\frac{1{,}248957}{1{,}692957}\approx0{,}7379.
Interpretação: cerca de 73{,}8\% da massa está em vapor saturado e o restante em líquido saturado a 100^\circ\mathrm{C}.

Passo 5

Calcular as energias internas específicas u_1 e u_2 usando propriedades da água (valores das tabelas):
  • Estado inicial ( T_1=20^\circ\mathrm{C}, água líquida comprimida): tomamos a energia interna específica aproximada
    u_1 \approx 83{,}91\\ \mathrm{kJ/kg}
    (valor de u_f a 20^\circ\mathrm{C}, retirado das tabelas; metade do trabalho de prova: se seu exame der outro T_1, troque aqui).
  • Estado final ( T_2=100^\circ\mathrm{C}, mistura saturada): usamos
    u_2=(1-x)\,u_f(100^\circ\mathrm{C}) + x\,u_g(100^\circ\mathrm{C}).
    Valores das tabelas a 100^\circ\mathrm{C} (saturado):
    u_f(100^\circ\mathrm{C})\approx418{,}9\\ \mathrm{kJ/kg}, \qquad u_g(100^\circ\mathrm{C})\approx2504{,}0\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Substituindo:
    u_2 = (1-0{,}7379)\cdot418{,}9 + 0{,}7379\cdot2504{,}0.
    Vou calcular passo a passo:
    1-0{,}7379=0{,}2621,
0{,}2621\cdot418{,}9\approx109{,}8\\ \mathrm{kJ/kg},
0{,}7379\cdot2504{,}0\approx1847{,}6\\ \mathrm{kJ/kg},
u_2\approx109{,}8+1847{,}6=1957{,}4\\ \mathrm{kJ/kg}.

Passo 6

Calcular a energia transferida por calor Q:
  • Diferença de energia interna por massa:
    u_2-u_1=1957{,}4-83{,}91=1873{,}49\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Energia total (multiplicando pela massa m=0{,}4\\ \mathrm{kg}):
    Q = m\,(u_2-u_1)=0{,}4\cdot1873{,}49\approx749{,}40\\ \mathrm{kJ}.
  • Em joules:
    Q\approx7{,}494\times10^{5}\\ \mathrm{J}.
Interpretação final: Q é positivo — isto é calor fornecido ao sistema para aquecer e vaporizar parte da água até atingir 100^\circ\mathrm{C} sob volume fixo.
Observação final: se a temperatura inicial T_1 for diferente de 20^\circ\mathrm{C}, substitua u_1 pelo valor adequado nas tabelas e refaça o cálculo; o procedimento (usar Q=m(u_2-u_1) e obter u_2 pela qualidade) permanece igual.

Resposta

Q\approx7{,}49\times10^{5}\\ \mathrm{J} (considerando T_1=20^\circ\mathrm{C}).

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