Cinco quilogramas de tetracloreto de carbono líquido passam por uma mudança de estado isobárica a 1 bar, mecanicamente reversível, durante a qual a temperatura varia de 0^{\circ} \mathrm{C} a 20^{\circ} \mathrm{C}. Determine \Delta V^{\prime}, W, Q, \Delta H^{\prime} e \Delta U^{\prime}. As propriedades do tetracloreto de carbono líquido, a 1 bar e 0^{\circ} \mathrm{C}, podem ser consideradas independentes da temperatura: \beta=1,2 \times 10^{-3} \mathrm{~K}^{-1}, C_{p}=0,84 \mathrm{~kJ} \mathrm{~kg}^{-1} \mathrm{~K}^{-1}, e \rho=1.590 \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{-3}.

Passo 1

O enunciado dá um processo isobárico (pressão constante) e mecanicamente reversível para 5\\ \mathrm{kg} de tetracloreto de carbono líquido, com temperatura variando de 0^{\circ}\mathrm{C} para 20^{\circ}\mathrm{C}. As propriedades fornecidas (assumidas constantes com a temperatura) são:
\beta = 1{,}2\times 10^{-3}\\ \mathrm{K^{-1}},\qquad C_{p} = 0{,}84\\ \mathrm{kJ\\ kg^{-1}\\ K^{-1}},\qquad \rho = 1{,}590\times 10^{3}\\ \mathrm{kg\\ m^{-3}}
(interpretamos \rho como 1{,}590\times10^{3}\\ \mathrm{kg\\ m^{-3}}, valor típico para líquido).
As quantidades pedidas são \Delta V' (variação do volume específico, i.e. por unidade de massa), W (trabalho do processo, assumido como trabalho realizado pelo sistema), Q (calor trocado), \Delta H' (variação de entalpia específica) e \Delta U' (variação de energia interna específica).

Passo 2

Vamos lembrar conceitos e fórmulas úteis (curto resumo didático):
  • Volume específico v é o volume por unidade de massa:
v=\frac{1}{\rho}\qquad\text{(unidade: }\mathrm{m^{3}/kg}\text{)}.
  • Para líquidos com coeficiente volumétrico de expansão \beta aproximadamente constante, a variação do volume específico ao mudar a temperatura \Delta T é dada por (primeira ordem)
\Delta v = v_{1}\,\beta\,\Delta T,
onde v_{1} é o volume específico inicial e \Delta T=T_{2}-T_{1}. Essa fórmula vem da definição de \beta:
\beta = \frac{1}{v}\left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_{p}
e, assumindo \beta constante, integra-se aproximadamente como v(T)\approx v_{1}[1+\beta(T-T_{1})].
  • Em processo isobárico e reversível, o trabalho realizado pelo sistema (trabalho de expansão) é
W = p\,\Delta V_{\text{total}},
onde \Delta V_{\text{total}} = m\,\Delta v.
  • A variação de entalpia específica em processo isobárico com C_{p} constante é
\Delta h = C_{p}\,\Delta T.
  • Relação entre entalpia específica h, energia interna específica u e pressão/volume específico:
h = u + p\,v \quad\Rightarrow\quad \Delta h = \Delta u + p\,\Delta v \quad(\text{se }p\text{ constante}).
  • Primeira lei para sistema fechado (sinal: Q calor fornecido ao sistema, W trabalho realizado pelo sistema):
Q - W = \Delta U_{\text{total}} = m\,\Delta u.
Essas fórmulas bastam para calcular tudo pedido.

Passo 3

Calculemos o volume específico inicial v_{1} em 0^{\circ}\mathrm{C}:
v_{1}=\frac{1}{\rho}=\frac{1}{1{,}590\times10^{3}}\\ \mathrm{m^{3}/kg} =1{,} _\!? \; \text{(vamos calcular com precisão abaixo).}ã
Fazendo a divisão:
v_{1}=\frac{1}{1{,}590\times10^{3}}=6{,}289\ldots\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{3}/kg}.
Agora \Delta T = 20\\ \mathrm{K}. Usando \Delta v = v_{1}\beta\Delta T:
\Delta v = 6{,}289\times10^{-4}\times(1{,}2\times10^{-3})\times 20 =1{,}50943396\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{3}/kg}.
Arredondando razoavelmente:
\Delta V'=\Delta v = 1{,}51\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{3}/kg}.

Passo 4

Agora o trabalho W. Primeiro o \Delta V_{\text{total}} para m=5\\ \mathrm{kg}:
\Delta V_{\text{total}}=m\,\Delta v = 5\times 1{,}50943396\times10^{-5} =7{,}5471698\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{3}}.
A pressão é p=1\\ \mathrm{bar}=1{,}0\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}. Então o trabalho (expansão) realizado pelo sistema é
W = p\,\Delta V_{\text{total}} = 1{,}0\times10^{5}\times 7{,}5471698\times10^{-5} =7{,}5471698\\ \mathrm{J}.
Arredondando:
W \approx 7{,}55\\ \mathrm{J}.
Comentário didático: veja que o trabalho é muito pequeno porque o líquido praticamente não se expande — o \Delta V é pequeno, apesar da massa moderada.

Passo 5

Calculemos a variação de entalpia específica \Delta h (aqui indicada no enunciado como \Delta H', entendida como por unidade de massa):
\Delta H'=\Delta h = C_{p}\,\Delta T = 0{,}84\\ \mathrm{kJ\\ kg^{-1}\\ K^{-1}}\times 20\\ \mathrm{K} =16{,}8\\ \mathrm{kJ\\ kg^{-1}}.
Para conferir unidades em joules por quilograma:
\Delta h = 16{,}800\\ \mathrm{J/kg}.
O calor total trocado Q em processo isobárico reversível para sistema fechado é igual à variação total de entalpia:
Q = m\,\Delta h = 5\times 16{,}8\\ \mathrm{kJ/kg}=84{,}0\\ \mathrm{kJ}.
Em joules, Q=84{,}000\\ \mathrm{J}. (Também pode confirmar via primeira lei: Q = \Delta U_{\text{total}} + W.)

Passo 6

Finalmente, calculamos a variação de energia interna específica \Delta u = \Delta U' usando \Delta h = \Delta u + p\,\Delta v, isto é:
\Delta u = \Delta h - p\,\Delta v.
Colocando valores em unidades consistentes (J/kg):
\Delta h = 16{,}800\\ \mathrm{J/kg}, \qquad p\,\Delta v = 1{,}0\times10^{5}\times 1{,}50943396\times10^{-5}=1{,}50943396\\ \mathrm{J/kg}.
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\Delta u = 16{,}800 - 1{,}50943396 = 16{,}798{,}4906\\ \mathrm{J/kg}\approx 16{,}798\\ \mathrm{kJ/kg}.
Em kJ/kg:
\Delta U'=\Delta u \approx 16{,}798\\ \mathrm{kJ/kg}.
Verificação rápida com a primeira lei (total): m\Delta u = 5\times 16{,}798{,}49\\ \mathrm{kJ/kg}\approx 83{,}992\\ \mathrm{kJ}. Então Q = \Delta U_{\text{total}} + W \approx 83{,}992\\ \mathrm{kJ} + 0{,}00755\\ \mathrm{kJ} \approx 84{,}0\\ \mathrm{kJ}, consistente com o cálculo direto de Q.

Resposta

\Delta V' = 1{,}51\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{3}/kg}
W = 7{,}55\\ \mathrm{J}
Q = 84{,}0\\ \mathrm{kJ}
\Delta H' = 16{,}8\\ \mathrm{kJ/kg}
\Delta U' = 16{,}798\\ \mathrm{kJ/kg}

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