( Circuitos em série L-R, R-C ) Considere as notações:
  • i(t)=d q(t)d t ;
  • L= Indutância;
  • R= Resistência;
  • E= Voltagem;
  • C= Capacitância.
Considere também a equação diferencial
L d id t+R i=E
Assim, uma baterial de 12 volts é conectada a um circuito em série no qual a indutância é de 12 Henry e a resistência, 10 ohms. Determine a corrente i(t), se a corrente inicial é zero, ou seja, i(0)=0.

Passo 1

Beleza, aqui o que o enunciado pede é resolver a corrente num circuito série L-R, usando a equação diferencial
L,d idt + R,i = E,
onde deram L = ½ H, R = 10 Ω, E = 12 V e a condição inicial i(0)=0.
Conteúdo: equação diferencial linear de 1ª ordem com coeficientes constantes.
O que vamos precisar:
  • Montar a equação com os valores dados;
  • Resolver a parte homogênea (quando o lado direito é zero);
  • Achar uma solução particular (para o lado constante 12);
  • Combinar tudo e usar i(0)=0 pra achar a constante.

Passo 2

Substituindo L, R e E na equação:
12didt + 10,i = 12
Pra ficar mais simples, multiplica tudo por 2:
didt + 20,i = 24
Isso não muda a solução, só deixa os números mais limpos.

Passo 3

Agora resolve a parte homogênea, isto é
didt + 20,i = 0
Isso é separável:
1i,di = -20,dt
Integrando ambos os lados:
ln|i| = -20t + C1 Longrightarrow ih(t) = A,e^-20t,
onde é uma constante que a gente vai achar depois.

Passo 4

A seguir, a gente precisa de uma solução particular para o termo constante 24. Como o lado direito é só um número, tenta 0 + 20,B = 24 Longrightarrow B = 2420 = 1,2 (constante). Então e a equação vira
Logo .

Passo 5

A solução geral é a soma da parte homogênea com a particular:
i(t) = A,e^-20t + 1,2
Agora aplica a condição inicial 0 = A,e^0 + 1,2 Longrightarrow A = -1,2 :
i(t) = -1,2,e^-20t + 1,2 = 1,2l(1 - e^-20tr)
Então a solução fica

Resposta

boxedi(t) = 1,2l(1 - e^-20,tr) A

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