Mostre que x^-1 não é exata, mas que multiplicando essa equação pelo fator x neq 0 gera uma equação exata. Resolva essa nova equação e observe que a solução é também uma solução para a equação original sempre que .

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente mostrar que a equação
não é exata, mas que, multiplicando tudo por l(x + 3x^3sen yr),dx ;+;l(x^4cos yr),dy ;=;0 , a gente vira uma equação exata. Depois, é só resolver essa nova equação e ver que a solução também vale pra original quando .
Conteúdo envolvido: equações diferenciais exatas, condição de exatidão , e fator integrante que depende só de .

Passo 2

Primeiro, vamos checar que não é exata:
  • e mu(x)=x^-1 .
  • Calcular .
  • Calcular .
    Como , não é exata.
    Agora, procuramos um fator integrante tal que seja exata.
    Usamos o truque clássico: se depender só de , então é uma função de . Ao testar , você chega que faz
Pois multiplicando, dá exatidão.

Passo 3

Multiplicando a equação original por l(1+3x^2sen yr),dx ;+;l(x^3cos yr),dy ;=;0 , fica
Agora é exata, porque

e
psix = 1+3x^2sen y, psiy = x^3cos y
Pra resolver, achamos uma função potencial psi(x,y) = integrall(1+3x^2sen yr),dx = x + x^3sen y + h(y), tal que
Integramos psiy = partialpartial yl(x + x^3sen y + h(y)r) = x^3cos y + h'(y) stackrel!= x^3cos y em relação a :
onde é “constante” de integração que pode depender só de .
Agora impomos :
Logo , ou seja, é constante.

Resposta

A solução implícita da equação — tanto da modificada exata quanto da original quando boxedx + x^3sen y = C, — é
com constante.

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