Mostre que
não é exata, mas que multiplicando essa equação pelo fator
gera uma equação exata. Resolva essa nova equação e observe que a solução é também uma solução para a equação original sempre que
.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente mostrar que a equação
não é exata, mas que, multiplicando tudo por
, a gente vira uma equação exata. Depois, é só resolver essa nova equação e ver que a solução também vale pra original quando
.
Conteúdo envolvido: equações diferenciais exatas, condição de exatidão , e fator integrante que depende só de
.
Conteúdo envolvido: equações diferenciais exatas, condição de exatidão
Passo 2
Primeiro, vamos checar que não é exata:
- e
. - Calcular
. - Calcular
.
Como, não é exata.
Agora, procuramos um fator integrantetal que seja exata.
Usamos o truque clássico: sedepender só de , então é uma função de . Ao testar , você chega que faz
Pois multiplicando, dá exatidão.
Passo 3
Multiplicando a equação original por
, fica
Agora é exata, porque
e
Pra resolver, achamos uma função potencial tal que
e
Pra resolver, achamos uma função potencial
Integramos
em relação a
:
onde
é “constante” de integração que pode depender só de
.
Agora impomos :
Agora impomos
Logo
, ou seja,
é constante.
Resposta
A solução implícita da equação — tanto da modificada exata quanto da original quando
— é
com
constante.