Resolva a equação diferencial
Sugentão: Observe que multiplicando a equação 15 por
, ela se torna exata.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz: “Resolva a equação diferencial
no intervalo
”. A matéria aqui é equações diferenciais exatas e fator integrante. A gente vai precisar:
- Reconhecer que a forma
pode não ser exata. - Usar o fator integrante sugerido
. - Checar exatidão e encontrar a função potencial
.
Passo 2
Primeiro, multiplicamos a equação original por
. Isso dá:
Agora definimos
Passo 3
Pra ver se é exata, calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 4
Em uma equação exata temos uma função potencial
tal que
Integramos
em relação a
:
onde
é “constante” em relação a
.
Passo 5
Agora derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso só faz sentido se
, ou seja,
é constante. Logo
onde
é constante de integração.
Resposta
A solução geral da equação é dada implicitamente por