Resolva a equação diferencial
(x+y) d x+x ln x d y=0 em (0, infty)
Sugentão: Observe que multiplicando a equação 15 por mu(x, y)=1x, ela se torna exata.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz: “Resolva a equação diferencial
(x+y),dx + xln x,dy = 0
no intervalo ”. A matéria aqui é equações diferenciais exatas e fator integrante. A gente vai precisar:
  1. Reconhecer que a forma pode não ser exata.
  2. Usar o fator integrante sugerido .
  3. Checar exatidão e encontrar a função potencial .

Passo 2

Primeiro, multiplicamos a equação original por x+yx,dx + xln xx,dy = l(1 + yxr),dx + ln x,dy = 0 . Isso dá:
M(x,y) = 1 + yx, N(x,y) = ln x
Agora definimos

Passo 3

Pra ver se é exata, calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y = partialpartial yl(1 + yxr) = 1x, partial Npartial x = partialpartial x(ln x) = 1x
Como , a equação é exata.

Passo 4

Em uma equação exata temos uma função potencial partial Phipartial x = M(x,y), partial Phipartial y = N(x,y) tal que
Phi(x,y) = integral l(1 + yxr),dx = integral 1,dx + integral yx,dx = x + yln x + h(y),
Integramos em relação a :
onde é “constante” em relação a .

Passo 5

Agora derivamos partial Phipartial y = ln x + h'(y) stackrel!= ln x em relação a Phi(x,y) = x + yln x = C, e igualamos a :
Isso só faz sentido se , ou seja, é constante. Logo
onde é constante de integração.

Resposta

A solução geral da equação é dada implicitamente por
boxedx + yln x = C

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