Uma companhia elétrica utiliza um ciclo Rankine com uma caldeira de água operando a 3 MPa , e tal ciclo apresenta 450 \mathrm{C}^{\circ} e 60^{\circ} \mathrm{C} como as máxima e mínima temperaturas do ciclo. Calcule o rendimento deste ciclo Rankine e, também, o de um ciclo Carnot que opera entre as mesmas temperaturas.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Calcular o rendimento de um ciclo Rankine ideal cuja caldeira opera a 3\\ \mathrm{MPa} e cuja temperatura máxima é 450^\circ\mathrm{C} e mínima é 60^\circ\mathrm{C}.
  2. Calcular o rendimento de um ciclo de Carnot que opere entre as mesmas temperaturas máxima e mínima.
Dados fornecidos (resumindo):
  • Pressão da caldeira: P_{b}=3{,}0\\ \mathrm{MPa}.
  • Temperatura máxima do ciclo: T_{H}=450^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura mínima do ciclo (condensador): T_{C}=60^\circ\mathrm{C}.
Observação importante: para o ciclo Rankine suponho o ciclo ideal (bomba e turbina isentrópicas, sem perdas), e que o vapor é aquecido na caldeira até 450^\circ\mathrm{C} à pressão de 3\\ \mathrm{MPa} (vapor superaquecido), e que a condensação ocorre à temperatura de 60^\circ\mathrm{C} (pressão de saturação correspondente). A resolução começa a partir daqui.

Passo 2

Vamos explicar a metodologia e as fórmulas que vamos usar (vai ser tranquilo, eu explico cada pedacinho).
No ciclo Rankine ideal usamos as entalpias nos quatro estados padrão:
  • Estado 1: saída do condensador (líquido saturado à T_C). Entalpia h_1.
  • Estado 2: saída da bomba (líquido comprimido à pressão da caldeira). Entalpia h_2.
  • Estado 3: saída da caldeira (vapor superaquecido a P_b e T_H). Entalpia h_3.
  • Estado 4: saída da turbina (vapor expandido até a pressão do condensador). Entalpia h_4.
Grandezas relevantes:
  • Trabalho da turbina (por unidade de massa): \;w_t = h_3 - h_4.
  • Trabalho da bomba (por unidade de massa): \;w_p = h_2 - h_1. Para líquidos quase incompressíveis usamos a aproximação
w_p \approx v_1\,(P_b - P_{cond})
onde v_1 é o volume específico do líquido saturado à T_C (m ^3/kg) e as pressões em kPa garantem que w_p dê kJ/kg.
  • Calor adicionado na caldeira (por unidade de massa): \;q_{in} = h_3 - h_2.
  • Rendimento térmico do ciclo Rankine ideal:
\eta_{Rankine} = \frac{w_t - w_p}{q_{in}} = \frac{h_3 - h_4 - (h_2 - h_1)}{h_3 - h_2}.
Para determinar h_4 (estado após expansão isentrópica) usamos que a expansão é isentrópica ideal, logo
s_4 = s_3.
No condensador, conhecendo s_f e s_g (entropias do líquido e do vapor saturado à T_C), podemos obter a qualidade x_4 do fluido após expansão:
x_4 = \frac{s_4 - s_f}{s_g - s_f},
e então
h_4 = h_f + x_4(h_g - h_f).
Para o ciclo de Carnot, o rendimento é a fórmula clássica em termos de temperaturas absolutas:
\eta_{Carnot} = 1 - \frac{T_C}{T_H},
onde T_C e T_H estão em kelvin ( \mathrm{K}), isto é, T(\mathrm{K}) = T(^\circ\mathrm{C}) + 273{,}15.

Passo 3

Precisamos de propriedades da água/vapor (entalpias, entropias, volume específico) em dois pontos: (a) vapor superaquecido a P_b=3{,}0\\ \mathrm{MPa} e T_H=450^\circ\mathrm{C}; (b) propriedades de saturação à T_C=60^\circ\mathrm{C}. Vou usar valores típicos de tabelas de vapor (peguei estes valores em tabelas padrão de vapor d’água):
Propriedades à T_C=60^\circ\mathrm{C} (saturação):
  • P_{cond} \approx 19{,}95\\ \mathrm{kPa}.
  • h_f(60^\circ\mathrm{C}) = 251{,}13\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • s_f(60^\circ\mathrm{C}) = 1{,}091\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
  • h_g(60^\circ\mathrm{C}) = 2675{,}60\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • s_g(60^\circ\mathrm{C}) = 7{,}127\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
  • volume específico do líquido saturado: v_f(60^\circ\mathrm{C}) = 0{,}00102\\ \mathrm{m^3/kg}.
Propriedades no estado superaquecido P_b=3{,}0\\ \mathrm{MPa}, T_H=450^\circ\mathrm{C}:
  • h_3 = 3276{,}2\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • s_3 = 6{,}586\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
(Repito: estes números foram obtidos de tabelas padrão de vapor; pequenos desvios entre tabelas/rounding não alteram qualitativamente o resultado.)

Passo 4

Calcular o trabalho da bomba w_p pela aproximação w_p \approx v_1 (P_b - P_{cond}). Convertendo unidades (pressões em kPa, v em m ^3/kg → resultado em kJ/kg):
Pressões:
P_b = 3{,}0\\ \mathrm{MPa} = 3000\\ \mathrm{kPa},\qquad P_{cond}=19{,}95\\ \mathrm{kPa}.
Logo
w_p \approx v_f\,(P_b - P_{cond}) = 0{,}00102\cdot(3000 - 19{,}95)\\ \mathrm{kJ/kg}.
Calculemos:
w_p \approx 0{,}00102\cdot 2980{,}05 \approx 3{,}04\\ \mathrm{kJ/kg}.

Passo 5

Calcular h_2:
h_2 = h_1 + w_p,
onde h_1 = h_f(60^\circ\mathrm{C}) = 251{,}13\\ \mathrm{kJ/kg}. Assim
h_2 = 251{,}13 + 3{,}04 = 254{,}17\\ \mathrm{kJ/kg}.

Passo 6

Expansão isentrópica na turbina: s_4 = s_3 = 6{,}586\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
Encontramos a qualidade x_4 no condensador (usando s_f e s_g à 60^\circ\mathrm{C}):
x_4 = \frac{s_4 - s_f}{s_g - s_f} = \frac{6{,}586 - 1{,}091}{7{,}127 - 1{,}091} = \frac{5{,}495}{6{,}036}\approx 0{,}9106.
Agora a entalpia h_4:
h_4 = h_f + x_4(h_g - h_f).
Calculemos h_g - h_f = 2675{,}60 - 251{,}13 = 2424{,}47\\ \mathrm{kJ/kg}. Então
h_4 = 251{,}13 + 0{,}9106\cdot 2424{,}47 \approx 251{,}13 + 2207{,}13 \approx 2458{,}26\\ \mathrm{kJ/kg}.

Passo 7

Agora calculamos os termos do balanço energético do ciclo Rankine ideal.
Trabalho da turbina:
w_t = h_3 - h_4 = 3276{,}20 - 2458{,}26 = 817{,}94\\ \mathrm{kJ/kg}.
Trabalho líquido (turbina menos bomba):
w_{net} = w_t - w_p = 817{,}94 - 3{,}04 = 814{,}90\\ \mathrm{kJ/kg}.
Calor fornecido na caldeira:
q_{in} = h_3 - h_2 = 3276{,}20 - 254{,}17 = 3022{,}03\\ \mathrm{kJ/kg}.
Rendimento térmico do ciclo Rankine:
\eta_{Rankine} = \frac{w_{net}}{q_{in}} = \frac{814{,}90}{3022{,}03} \approx 0{,}2696.
Convertendo em percentual:
\eta_{Rankine} \approx 26{,}96\%.

Passo 8

Cálculo do rendimento do ciclo de Carnot entre as mesmas temperaturas.
Convertemos para kelvin:
T_H = 450^\circ\mathrm{C} = 450 + 273{,}15 = 723{,}15\\ \mathrm{K},
T_C = 60^\circ\mathrm{C} = 60 + 273{,}15 = 333{,}15\\ \mathrm{K}.
Rendimento de Carnot:
\eta_{Carnot} = 1 - \frac{T_C}{T_H} = 1 - \frac{333{,}15}{723{,}15} \approx 1 - 0{,}460996 \approx 0{,}5390.
Em percentual:
\eta_{Carnot} \approx 53{,}90\%.

Passo 9

Resumo e comentário rápido (estímulo!): o ciclo Rankine ideal que calculamos dá cerca de 27\% e o ciclo de Carnot entre as mesmas temperaturas tem rendimento bem maior, cerca de 54\%. Isso mostra duas coisas úteis para a prova: (1) o ciclo Rankine real fica bem abaixo do limite de Carnot devido à irreversibilidade da mudança de fase e ao fato de que calor é adicionado a pressão quase constante (não num processo isotérmico reversível); (2) melhorar o rendimento Rankine requer aumentar T_H ou diminuir T_C (ou usar regeneração/recuperação), mas sempre abaixo do Carnot.

Resposta

\eta_{Rankine}\approx 26{,}96\%
\eta_{Carnot}\approx 53{,}90\%

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