Questão 1 - Em sala estimamos o número de estados no ensemble microcanônico para um sistema de N partículas com spin num campo magnético externo. No caso, cada partícula podia ter energia \mu_{0} \mathrm{H} ou -\mu_{0} \mathrm{H}. Use o raciocínio semelhante e escreva q quantidade de estados de um sistema de dois níveis, nos quais N1 partículas podem ter energia nula, e N2 partículas podem ter energia arbitrária ε.

Passo 1

O enunciado pergunta quantas microestados (quantidade de estados) existem para um sistema de dois níveis em que N_1 partículas ocupam o nível de energia 0 e N_2 partículas ocupam o nível de energia \varepsilon. As informações relevantes que temos são:
N_1 \text{ partículas com energia } 0,í
N_2 \text{ partículas com energia } \varepsilon,í
e podemos definir o total de partículas
N \equiv N_1+N_2.
A tarefa é escrever a expressão para o número de microestados compatíveis com essas ocupações dadas.

Passo 2

O que é um microestado aqui? Um microestado é uma atribuição completa de qual partícula está em qual nível. Imagine que as partículas são rotuladas (como spins individuais numa amostra): então trocar quais partículas estão no nível \varepsilon gera um microestado diferente. Esse é o mesmo raciocínio usado no problema das partículas com spin (lá cada partícula podia estar em um dos dois estados de energia).

Passo 3

Agora o raciocínio combinatório: para construir um microestado com exatamente N_2 partículas no nível \varepsilon e N_1 no nível 0, precisamos escolher quais N_2 entre as N partículas ficam no nível \varepsilon. O número de maneiras de escolher N_2 elementos de um conjunto de N elementos é o coeficiente binomial. Escrevendo isso em forma de fatoriais:
\Omega = \binom{N}{N_2} = \frac{N!}{N_2!(N-N_2)!}.
Como N-N_2 = N_1, podemos reescrever:
\Omega = \frac{N!}{N_2!\,N_1!}.
Aqui N! (fatorial de N) significa N! = N\cdot (N-1)\cdot (N-2)\cdots 2\cdot 1. A divisão por N_2! e N_1! remove a contagem de ordens internas irrelevantes entre partículas que ocupam o mesmo nível (a ordem entre as N_2 escolhidas não importa, por isso dividimos por N_2!).

Passo 4

Outra maneira de ver a mesma expressão (às vezes ajuda a fixar): conte arranjos totais das N partículas (que seriam N!) e observe que permutar entre si as N_1 que estão no nível 0 não gera um novo microestado fisicamente distinto, e o mesmo vale para as N_2 no nível \varepsilon. Assim dividimos por N_1! e por N_2!, obtendo novamente
\Omega = \frac{N!}{N_1!\,N_2!}.

Passo 5

Um comentário útil para provas: se N é grande e você quiser trabalhar com \ln \Omega (por exemplo para calcular entropia), use a aproximação de Stirling \ln n! \approx n\ln n - n. Aplicando isso:
\ln \Omega \approx N\ln N - N_1\ln N_1 - N_2\ln N_2,
o que frequentemente é o passo intermediário para obter expressões termodinâmicas. Mas para a contagem exata, a fórmula com fatoriais é suficiente.

Resposta

\Omega = \binom{N_1+N_2}{N_2} = \frac{(N_1+N_2)!}{N_1!\,N_2!}.

Exercícios relacionados