Questão 1 - Em sala estimamos o número de estados no ensemble microcanônico para um sistema de N partículas com spin num campo magnético externo. No caso, cada partícula podia ter energia
ou
. Use o raciocínio semelhante e escreva q quantidade de estados de um sistema de dois níveis, nos quais N1 partículas podem ter energia nula, e N2 partículas podem ter energia arbitrária ε.
Passo 1
O enunciado pergunta quantas microestados (quantidade de estados) existem para um sistema de dois níveis em que
partículas ocupam o nível de energia
e
partículas ocupam o nível de energia
. As informações relevantes que temos são:
e podemos definir o total de partículas
A tarefa é escrever a expressão para o número de microestados compatíveis com essas ocupações dadas.
Passo 2
O que é um microestado aqui? Um microestado é uma atribuição completa de qual partícula está em qual nível. Imagine que as partículas são rotuladas (como spins individuais numa amostra): então trocar quais partículas estão no nível
gera um microestado diferente. Esse é o mesmo raciocínio usado no problema das partículas com spin (lá cada partícula podia estar em um dos dois estados de energia).
Passo 3
Agora o raciocínio combinatório: para construir um microestado com exatamente
partículas no nível
e
no nível
, precisamos escolher quais
entre as
partículas ficam no nível
. O número de maneiras de escolher
elementos de um conjunto de
elementos é o coeficiente binomial. Escrevendo isso em forma de fatoriais:
Como
, podemos reescrever:
Aqui
(fatorial de
) significa
. A divisão por
e
remove a contagem de ordens internas irrelevantes entre partículas que ocupam o mesmo nível (a ordem entre as
escolhidas não importa, por isso dividimos por
).
Passo 4
Outra maneira de ver a mesma expressão (às vezes ajuda a fixar): conte arranjos totais das
partículas (que seriam
) e observe que permutar entre si as
que estão no nível 0 não gera um novo microestado fisicamente distinto, e o mesmo vale para as
no nível
. Assim dividimos por
e por
, obtendo novamente
Passo 5
Um comentário útil para provas: se
é grande e você quiser trabalhar com
(por exemplo para calcular entropia), use a aproximação de Stirling
. Aplicando isso:
o que frequentemente é o passo intermediário para obter expressões termodinâmicas. Mas para a contagem exata, a fórmula com fatoriais é suficiente.