Questão 2: Em analogia ao cálculo da quantidade de microestados do ensemble do oscilador harmônico quântico, deduza a expressão para a quantidade de estados do ensemble microcanônico de um sistema simples de um gás de partículas. Considere o gás como sendo composto por V posições (caixas) nas quais pode haver ou não uma partícula, e não mais do que uma. Em analogia ao problema do oscilador harmônico quântico, considere a distribuição de N partículas em V “caixas”, sendo que 0<\mathrm{N}<\mathrm{V}. Como sua respostas mudaria se as N partículas fossem distinguíveis?

Passo 1

O enunciado pede que eu deduza a expressão para a quantidade de estados (microestados) do ensemble microcanônico de um gás simples composto por V posições (caixas) onde cada caixa pode conter 0 ou 1 partícula, e há exatamente N partículas com 0< N < V. Em seguida devo dizer como a resposta muda se as N partículas forem distinguíveis.
Informações dadas e perguntas claras:
  • V caixas distintas (posições), numeradas implicitamente de 1 a V.
  • Cada caixa pode ter ocupação 0 ou 1 (não mais que uma partícula por caixa).
  • O número total de partículas é exatamente N, com 0< N < V.
  • Pergunta 1: Qual é a quantidade de microestados quando as partículas são indistinguíveis?
  • Pergunta 2: Como muda a quantidade de microestados se as partículas forem distinguíveis?

Passo 2

Definição clara do que é um microestado neste problema e como representá-lo matematicamente.
Um microestado é uma configuração completa das ocupações das V caixas. Podemos representar um microestado por um vetor de ocupações
(n_1,n_2,\dots,n_V),
onde cada entrada satisfaz n_i\in\{0,1\} e a restrição de conservação é
\sum_{i=1}^{V} n_i = N.
Explicação didática: cada n_i indica se a caixa i está ocupada ( n_i=1) ou vazia ( n_i=0). Para contar microestados, precisamos contar quantos vetores binários de comprimento V têm exatamente N uns.

Passo 3

Contagem combinatória básica (caso partículas indistinguíveis). Raciocínio simples e intuitivo: escolher quais caixas estarão ocupadas.
Se as partículas são indistinguíveis, só importa quais caixas contêm uma partícula; não há rótulos nas partículas para trocar. Portanto cada microestado corresponde a uma escolha de um subconjunto de N caixas dentre as V. O número de maneiras de escolher N caixas entre V é dado pelo coeficiente binomial
\binom{V}{N}.
A razão: \binom{V}{N} conta o número de subconjuntos de tamanho N do conjunto de V caixas. Em notação com fatoriais:
\binom{V}{N}=\frac{V!}{N!(V-N)!},
onde V! (lê-se V fatorial) é o produto V\cdot (V-1)\cdots 2\cdot 1. Exemplo concreto para fixar: se V=5 e N=2, as escolhas de caixas ocupadas são \binom{5}{2}=10 microestados (liste mentalmente todos os pares de caixas).

Passo 4

Explicação alternativa (contagem por equações) para reforçar entendimento.
Queremos soluções em 0/1 para (n_1,\dots,n_V) com \sum n_i=N. Cada solução corresponde a escolher N índices i tais que n_i=1; isso é exatamente a definição combinatória de \binom{V}{N}. Essa é a mesma conta que aparece em problemas de distribuir “ocupações” sem distinguir as partículas — por isso é análoga ao problema do oscilador harmônico quando se conta ocupações por nível (mas atenção: no oscilador quântico bosônico níveis podem ter ocupação arbitrária e aí entra o método estrelas-e-barras; aqui a ocupação é limitada a 0 ou 1, o que simplifica para binomial).

Passo 5

Discussão física curta e empática: por que indistinguibilidade leva a \binom{V}{N}.
Se eu não posso distinguir as partículas, trocar duas partículas entre duas caixas não cria um novo microestado; por isso apenas a escolha das caixas importa. Isso é análogo ao que fazemos para fermions em uma malha de estados: cada estado (caixa) pode estar ocupado ou vazio, e a configuração de ocupações é o microestado.

Passo 6

Caso partículas distinguíveis — formulação do problema e raciocínio.
Se as N partículas são distinguíveis (cada partícula tem um rótulo: 1,2,…,N), um microestado especifica não só quais caixas estão ocupadas, mas também qual partícula está em qual caixa. Uma maneira de contar é: primeiro escolher as N caixas que ficarão ocupadas (há \binom{V}{N} escolhas) e depois permutar as N partículas entre essas N caixas (há N! permutações). Então o número total de microestados é
\binom{V}{N}\,N! = \frac{V!}{(V-N)!}.
Explicação alternativa equivalente: contar funções injetivas (injeções) do conjunto de N partículas rotuladas para o conjunto de V caixas; o número de injeções é
V\cdot (V-1)\cdot (V-2)\cdots (V-N+1) = \frac{V!}{(V-N)!}.
Exemplo concreto: para V=5 e N=2, agora temos 5\cdot 4=20 microestados — para cada escolha de duas caixas, as duas partículas rotuladas podem ser trocadas, dobrando o número em comparação ao caso indistinguível.

Passo 7

Resumo comparativo e observações práticas para prova (como lembrar e aplicar rápido).
  • Indistinguíveis (ocupação 0/1): conta-se subconjuntos de N caixas entre V:
\text{microestados}=\binom{V}{N}=\frac{V!}{N!(V-N)!}.
  • Distinguíveis: conta-se injeções de N partículas em V caixas (ou escolher caixas e permutar partículas):
\text{microestados}=\frac{V!}{(V-N)!}.
Dica de prova: pense “escolho caixas” versus “escolho caixas + arrumo rótulos”. Se surgir ocupação ilimitada por caixa (não é o caso aqui), aí usaríamos outro método (estrelas-e-barras) — por isso é útil identificar a restrição de ocupação antes de escolher a fórmula.

Passo 8

Pequena ponte para conceitos de mecânica estatística (para entender o porquê físico).
  • O caso com ocupação máxima 1 lembra o princípio de exclusão de Pauli (fermions): os microestados são contagens de ocupações (configurações de n_i).
  • A contagem \binom{V}{N} conta diretamente configurational microstates para partículas idênticas (quantum indistinguíveis) em níveis distintos.
  • Se na sua prova perguntarem sobre entropia microcanônica, você usaria S=k_B\ln \Omega com \Omega igual à quantidade de microestados que deduzimos acima.

Resposta

\displaystyle \binom{V}{N}=\frac{V!}{N!(V-N)!}\n \displaystyle \frac{V!}{(V-N)!}

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