Questão 2: Em analogia ao cálculo da quantidade de microestados do ensemble do oscilador harmônico quântico, deduza a expressão para a quantidade de estados do ensemble microcanônico de um sistema simples de um gás de partículas. Considere o gás como sendo composto por V posições (caixas) nas quais pode haver ou não uma partícula, e não mais do que uma. Em analogia ao problema do oscilador harmônico quântico, considere a distribuição de N partículas em V “caixas”, sendo que
. Como sua respostas mudaria se as N partículas fossem distinguíveis?
Passo 1
O enunciado pede que eu deduza a expressão para a quantidade de estados (microestados) do ensemble microcanônico de um gás simples composto por
posições (caixas) onde cada caixa pode conter 0 ou 1 partícula, e há exatamente
partículas com
. Em seguida devo dizer como a resposta muda se as
partículas forem distinguíveis.
Informações dadas e perguntas claras:
Informações dadas e perguntas claras:
- Há
caixas distintas (posições), numeradas implicitamente de 1 a . - Cada caixa pode ter ocupação
ou (não mais que uma partícula por caixa). - O número total de partículas é exatamente
, com . - Pergunta 1: Qual é a quantidade de microestados quando as partículas são indistinguíveis?
- Pergunta 2: Como muda a quantidade de microestados se as partículas forem distinguíveis?
Passo 2
Definição clara do que é um microestado neste problema e como representá-lo matematicamente.
Um microestado é uma configuração completa das ocupações das caixas. Podemos representar um microestado por um vetor de ocupações
Um microestado é uma configuração completa das ocupações das
onde cada entrada satisfaz
e a restrição de conservação é
Explicação didática: cada
indica se a caixa
está ocupada (
) ou vazia (
). Para contar microestados, precisamos contar quantos vetores binários de comprimento
têm exatamente
uns.
Passo 3
Contagem combinatória básica (caso partículas indistinguíveis). Raciocínio simples e intuitivo: escolher quais caixas estarão ocupadas.
Se as partículas são indistinguíveis, só importa quais caixas contêm uma partícula; não há rótulos nas partículas para trocar. Portanto cada microestado corresponde a uma escolha de um subconjunto de caixas dentre as
. O número de maneiras de escolher
caixas entre
é dado pelo coeficiente binomial
Se as partículas são indistinguíveis, só importa quais caixas contêm uma partícula; não há rótulos nas partículas para trocar. Portanto cada microestado corresponde a uma escolha de um subconjunto de
A razão:
conta o número de subconjuntos de tamanho
do conjunto de
caixas. Em notação com fatoriais:
onde
(lê-se
fatorial) é o produto
. Exemplo concreto para fixar: se
e
, as escolhas de caixas ocupadas são
microestados (liste mentalmente todos os pares de caixas).
Passo 4
Explicação alternativa (contagem por equações) para reforçar entendimento.
Queremos soluções em para
com
. Cada solução corresponde a escolher
índices
tais que
; isso é exatamente a definição combinatória de
. Essa é a mesma conta que aparece em problemas de distribuir “ocupações” sem distinguir as partículas — por isso é análoga ao problema do oscilador harmônico quando se conta ocupações por nível (mas atenção: no oscilador quântico bosônico níveis podem ter ocupação arbitrária e aí entra o método estrelas-e-barras; aqui a ocupação é limitada a 0 ou 1, o que simplifica para binomial).
Queremos soluções em
Passo 5
Discussão física curta e empática: por que indistinguibilidade leva a
.
Se eu não posso distinguir as partículas, trocar duas partículas entre duas caixas não cria um novo microestado; por isso apenas a escolha das caixas importa. Isso é análogo ao que fazemos para fermions em uma malha de estados: cada estado (caixa) pode estar ocupado ou vazio, e a configuração de ocupações é o microestado.
Se eu não posso distinguir as partículas, trocar duas partículas entre duas caixas não cria um novo microestado; por isso apenas a escolha das caixas importa. Isso é análogo ao que fazemos para fermions em uma malha de estados: cada estado (caixa) pode estar ocupado ou vazio, e a configuração de ocupações é o microestado.
Passo 6
Caso partículas distinguíveis — formulação do problema e raciocínio.
Se as partículas são distinguíveis (cada partícula tem um rótulo: 1,2,…,N), um microestado especifica não só quais caixas estão ocupadas, mas também qual partícula está em qual caixa. Uma maneira de contar é: primeiro escolher as
caixas que ficarão ocupadas (há
escolhas) e depois permutar as
partículas entre essas
caixas (há
permutações). Então o número total de microestados é
Se as
Explicação alternativa equivalente: contar funções injetivas (injeções) do conjunto de
partículas rotuladas para o conjunto de
caixas; o número de injeções é
Exemplo concreto: para
e
, agora temos
microestados — para cada escolha de duas caixas, as duas partículas rotuladas podem ser trocadas, dobrando o número em comparação ao caso indistinguível.
Passo 7
Resumo comparativo e observações práticas para prova (como lembrar e aplicar rápido).
- Indistinguíveis (ocupação 0/1): conta-se subconjuntos de
caixas entre :
- Distinguíveis: conta-se injeções de
partículas em caixas (ou escolher caixas e permutar partículas):
Dica de prova: pense “escolho caixas” versus “escolho caixas + arrumo rótulos”. Se surgir ocupação ilimitada por caixa (não é o caso aqui), aí usaríamos outro método (estrelas-e-barras) — por isso é útil identificar a restrição de ocupação antes de escolher a fórmula.
Passo 8
Pequena ponte para conceitos de mecânica estatística (para entender o porquê físico).
- O caso com ocupação máxima 1 lembra o princípio de exclusão de Pauli (fermions): os microestados são contagens de ocupações (configurações de
). - A contagem
conta diretamente configurational microstates para partículas idênticas (quantum indistinguíveis) em níveis distintos. - Se na sua prova perguntarem sobre entropia microcanônica, você usaria
com igual à quantidade de microestados que deduzimos acima.