Um compressor alternativo com taxa de espaço morto de 6 \% admite 4,25 \mathrm{~m} 3 / \mathrm{min} de ar medido nas condições de sucção a 100 kPa e 57,2{ }^{\circ} \mathrm{C}. Se a pressão de descarga é 300 kPa , determine a potência necessária para acionar o compressor para um rendimento isoentrópico de 68 \%.

Passo 1

O enunciado fornece os dados abaixo e pede a potência necessária para acionar o compressor.
Dado:
\text{taxa de espaço morto} = 6\%,ç
\dot V_1 = 4{,}25\\ \mathrm{m^3/min}\quad\text{(fluxo volumétrico admitido nas condições de sucção)},éçõçã
p_1 = 100\\ \mathrm{kPa},
T_1 = 57{,}2^\circ\mathrm{C},
p_2 = 300\\ \mathrm{kPa},
\eta_{\text{is}} = 68\% = 0{,}68.
O que se pede:
  • Potência necessária para acionar o compressor (em watts ou kW), considerando rendimento isoentrópico \eta_{\text{is}}=0{,}68.
Observação: o enunciado deu a taxa de espaço morto (6%), mas o fluxo volumétrico admitido \dot V_1 é medido nas condições de sucção — portanto já representa o fluxo real admitido. Assim, para calcular a potência a partir da vazão mássica não é necessário determinar a folga explicitamente; a folga afetaria a relação entre deslocamento do pistão e vazão admitida, mas não precisamos disso aqui porque \dot V_1 é conhecido.

Passo 2

Escolha do método e fórmulas principais (explicação didática)
  • Vou tratar o ar como gás ideal e a compressão como referência isoentrópica para calcular a variação de temperatura isoentrópica. Valores típicos para o ar (usados em muitos exercícios) são:
R = 287\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)},\qquad c_p = 1005\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)},\qquad \gamma = 1{,}4.
  • Para uma compressão isoentrópica de p_1 a p_2 em gás ideal, a temperatura de descarga isoentrópica T_{2s} é dada por:
T_{2s} = T_1\left(\frac{p_2}{p_1}\right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}.
Aqui T_1 e T_{2s} estão em kelvin, p_1,p_2 em Pa (ou kPa desde que seja a mesma unidade no quociente).
  • A energia específica (por kg) para a compressão isoentrópica é
w_s = c_p\,(T_{2s}-T_1).
  • O rendimento isoentrópico relaciona o trabalho isoentrópico com o trabalho real por unidade de massa:
\eta_{\text{is}} = \frac{w_s}{w_{\text{real}}}\quad\Rightarrow\quad w_{\text{real}}=\frac{w_s}{\eta_{\text{is}}}.
  • A potência necessária é:
\dot W = \dot m\,w_{\text{real}},
onde \dot m é a vazão mássica de ar. Para obter \dot m usamos a equação dos gases ideais:
\rho_1=\frac{p_1}{R\,T_1},\qquad \dot m=\rho_1\,\dot V_1.
Vou seguir esses passos e mostrar todos os cálculos detalhadamente.

Passo 3

Converter unidades e calcular a vazão volumétrica em \mathrm{m^3/s} e a temperatura em kelvin.
\dot V_1 = 4{,}25\\ \mathrm{m^3/min} = \frac{4{,}25}{60}\\ \mathrm{m^3/s} = 0{,}0708333\\ \mathrm{m^3/s}.
T_1 = 57{,}2^\circ\mathrm{C} = 57{,}2 + 273{,}15 = 330{,}35\\ \mathrm{K}.

Passo 4

Calcular densidade na sucção e vazão mássica \dot m.
Usando a equação dos gases ideais:
\rho_1=\frac{p_1}{R\,T_1}=\frac{100\,000\\ \mathrm{Pa}}{287\cdot 330{,}35\\ \mathrm{K}}.
Calculemos o denominador:
287\cdot 330{,}35 = 94810{,}45.
Então
\rho_1=\frac{100\,000}{94\,810{,}45}=1{,}0545\\ \mathrm{kg/m^3}\\ (\text{aprox.}).
Vazão mássica:
\dot m=\rho_1\,\dot V_1 = 1{,}0545\cdot 0{,}0708333 = 0{,}07466\\ \mathrm{kg/s}\\ (\text{aprox.}).

Passo 5

Calcular a temperatura isoentrópica de descarga T_{2s}.
Pressão de descarga sobre sucção:
\frac{p_2}{p_1}=\frac{300}{100}=3.
Exponencial:
\frac{\gamma-1}{\gamma}=\frac{1{,}4-1}{1{,}4}=\frac{0{,}4}{1{,}4}=0{,}285714\ldots
Então
T_{2s}=T_1\left(3\right)^{0{,}285714}=330{,}35\cdot 3^{0{,}285714}.
Calculando 3^{0{,}285714}\approx 1{,}36863, obtemos
T_{2s}\approx 330{,}35\cdot 1{,}36863 = 452{,}14\\ \mathrm{K}.

Passo 6

Calcular o trabalho específico isoentrópico w_s.
w_s = c_p\,(T_{2s}-T_1)=1005\cdot(452{,}14-330{,}35)=1005\cdot 121{,}79.
w_s\approx 122\,402\\ \mathrm{J/kg}.
Expliquei: w_s é a energia por quilograma necessária na compressão ideal isoentrópica entre p_1 e p_2.

Passo 7

Calcular o trabalho específico real usando o rendimento isoentrópico.
w_{\text{real}}=\frac{w_s}{\eta_{\text{is}}}=\frac{122\,402}{0{,}68}\approx 179\,709\\ \mathrm{J/kg}.
Interpretação: por cada kg de ar comprimido, o compressor precisa fornecer aproximadamente 1{,}80\times10^5\\ \mathrm{J} considerando a eficiência dada.

Passo 8

Calcular a potência necessária \dot W.
\dot W=\dot m\,w_{\text{real}}=0{,}07466\cdot 179\,709\\ \mathrm{W}.
\dot W\approx 13\,418\\ \mathrm{W}=13{,}418\\ \mathrm{kW}.
Observação final rápida: este valor é a potência teórica entregue ao gás (potência indicada). Perdas mecânicas, atritos e rendimento do motor não foram fornecidos, então não as incluí; se precisasse da potência no motor, dividiríamos por outro rendimento mecânico.

Resposta

13{,}42\\ \mathrm{kW}

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