compressor / balanço energia / RP / potência requerida

Ar é admitido em um compressor que opera em regime permanente tomado a 1 bar, 17^{\circ} \mathrm{C} e com velocidade de 6 \mathrm{~m} / \mathrm{s} por uma seção cuja área é de 0,1 \mathrm{~m} 2. Na saída tem-se 7 bar, 177^{\circ} \mathrm{C} e 2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. A transferência de calor do compressor para o ambiente ocorre a uma taxa de 180 \mathrm{~kJ} / \mathrm{min}. Empregando o modelo de gás ideal para o ar nestas condições, calcule a potência de entrada (requerida) para o compressor, em kW.
R.: Wvc =-119,4 \mathrm{~kW} m_dot =0,72 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}

Passo 1

O enunciado pede a potência de entrada (requerida) para o compressor e fornece as condições na entrada e saída, além da transferência de calor. Dados fornecidos (todos os símbolos e números em notação matemática):
\begin{aligned} &p_1=1\\ \text{bar}=10^5\\ \text{Pa},\\\ &T_1=17^\circ\text{C}=290\\ \text{K},\\\ &V_1=6\\ \mathrm{m/s},\\\ &A_1=0{,}1\\ \mathrm{m}^2,\\\ &p_2=7\\ \text{bar}=7\times10^5\\ \text{Pa},\\\ &T_2=177^\circ\text{C}=450\\ \text{K},\\\ &V_2=2\\ \mathrm{m/s},\\\ &\dot{Q}_{\text{amb}}=180\\ \mathrm{kJ/min}=3000\\ \mathrm{W}\\ (\text{calor saindo do compressor}). \end{aligned}
Perguntas: calcular (1) a vazão mássica \dot{m} do ar que atravessa o compressor e (2) a potência de entrada requerida (potência do eixo, sinalizada com convensão a ser explicada).

Passo 2

Cálculo da vazão mássica \dot{m} usando a equação da continuidade e a equação dos gases ideais para obter a densidade na entrada. Modelo de gás ideal:
\rho_1=\frac{p_1}{R\,T_1},
onde R é a constante específica do ar: R=287\\ \mathrm{J/(kg\,K)}. Substituindo:
\rho_1=\frac{10^5}{287\cdot 290}.
Calculemos passo a passo:
287\cdot 290=83230,
\rho_1=\frac{100000}{83230}\approx 1{,}201\\ \mathrm{kg/m^3}.
A vazão mássica é
\dot{m}=\rho_1 A_1 V_1=1{,}201\cdot 0{,}1\cdot 6\approx 0{,}7206\\ \mathrm{kg/s}.
Arredondando para duas casas relevantes:
\dot{m}\approx 0{,}72\\ \mathrm{kg/s}.

Passo 3

Escrevendo o balanço de energia em regime permanente para o volume de controle do compressor (desprezando variação de energia potencial e considerando energia cinética dos fluxos):
\dot{Q}-\dot{W}+\dot{m}\!\left(h_1+\frac{V_1^2}{2}\right)=\dot{m}\!\left(h_2+\frac{V_2^2}{2}\right).
Aqui:
  • \dot{Q} é calor transferido para o volume de controle (positivo para entrada). No enunciado o calor sai para o ambiente, portanto \dot{Q}=-3000\\ \mathrm{W}.
  • \dot{W} é potência efetuada pelo volume de controle no eixo (positiva se o fluido realiza trabalho sobre o eixo). Para um compressor esperamos \dot{W}<0 (isto é, trabalho é fornecido ao fluido; trabalho de entrada no compressor é -\dot{W}).
    Rearranjando para \dot{W}:
\dot{W}=\dot{Q}+\dot{m}\left(h_1+\frac{V_1^2}{2}-h_2-\frac{V_2^2}{2}\right).
Comentário didático: se \dot{W} sair negativo, significa que o fluido recebeu trabalho (isto é, potência requerida ao eixo é -\dot{W}). Muitas provas pedem a potência de entrada (valor positivo), então no final indicaremos o módulo adequado.

Passo 4

Expressão da entalpia para gás ideal: para ar, aproximamos h=c_p T, onde c_p é a capacidade térmica molar massiva a pressão constante. Usaremos c_p=1005\\ \mathrm{J/(kg\,K)} (valor tabulado aproximado para ar em temperaturas próximas).
Calculemos as entalpias por unidade de massa:
h_1=c_p T_1=1005\cdot 290=291450\\ \mathrm{J/kg},
h_2=c_p T_2=1005\cdot 450=452250\\ \mathrm{J/kg}.
A variação de entalpia útil é, portanto,
h_1-h_2=291450-452250=-160800\\ \mathrm{J/kg}.

Passo 5

Calculemos as contribuições de energia cinética por unidade de massa:
\frac{V_1^2}{2}=\frac{6^2}{2}=18\\ \mathrm{J/kg},
\frac{V_2^2}{2}=\frac{2^2}{2}=2\\ \mathrm{J/kg}.
Logo a diferença cinética é
\frac{V_1^2}{2}-\frac{V_2^2}{2}=18-2=16\\ \mathrm{J/kg},
que é pequena em comparação com a variação de entalpia, mas será considerada.

Passo 6

Substituindo todos os valores na expressão de \dot{W}:
\dot{W}=\dot{Q}+\dot{m}\left(h_1-h_2+\frac{V_1^2}{2}-\frac{V_2^2}{2}\right).
Colocando números (com \dot{Q}=-3000\\ \mathrm{W} e \dot{m}=0{,}7206\\ \mathrm{kg/s}):
\dot{W}=-3000+0{,}7206\left(-160800+16\right)\\ \mathrm{W}.
Calcule o termo entre parênteses:
-160800+16=-160784\\ \mathrm{J/kg}.
Multiplicando pela vazão mássica:
0{,}7206\cdot(-160784)\approx -115860{,}95\\ \mathrm{W}.
Somando o termo de calor:
\dot{W}=-3000-115860{,}95\approx -118860{,}95\\ \mathrm{W}.
Ou seja,
\dot{W}\approx -118{,}861\\ \mathrm{W}\approx -118{,}9\\ \mathrm{kW}.

Passo 7

Interpretação do sinal: \dot{W} negativo significa que o trabalho é feito sobre o fluido (o eixo fornece potência ao compressor). A potência de entrada requerida ao eixo (valor positivo) é o módulo:
W_{\text{entrada}}=-\dot{W}\approx 118{,}9\\ \mathrm{kW}.
Por convenção do enunciado (e do gabarito fornecido), muitas vezes se escreve \dot{W}_{\mathrm{vc}}=-119{,}4\\ \mathrm{kW} indicando o trabalho do volume de controle (negativo). Nosso cálculo com c_p=1005\\ \mathrm{J/(kg\,K)} \dot{W}\approx -118{,}9\\ \mathrm{kW}; pequenas diferenças com valores tabulados de c_p ou arredondamentos explicam a discrepância.

Resposta

\dot{W}\approx -118{,}9\\ \mathrm{kW} (trabalho do volume de controle; potência de entrada requerida ao eixo W_{\text{entrada}}\approx 118{,}9\\ \mathrm{kW}).
\dot{m}\approx 0{,}72\\ \mathrm{kg/s}

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