EXEMPLO: integração de sistemas
Um processo industrial descarrega produtos da combustão a 480 K , 1 bar e 70 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}. Propõe-se um sistema que combina um gerador de vapor juntamente com uma turbina, para recuperação da energia dos produtos da combustão.
Em regime permanente, os produtos da combustão saem do gerador de vapor a 400 K e 1 bar. Um outro fluxo de agua entra a 0,3 \mathrm{MPa}, 40^{\circ} \mathrm{C} e vazão de 2,1 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}. Na saída da turbina, a pressão é de 0,08 bar e título de 0,93 .
As transferências de calor das superfícies externas do gerador de vapor e da turbina podem ser ignorados, juntamente com as variações de energia cinética e potencial. Não existe uma perda de carga significativa da agua que escoa no gerador de vapor. Os produtos da combustão podem ser modelados como ar e gás ideal. Determine

EME 503 - Termodinâmica I

EXEMPLO: integração de sistemas
A) potencia desenvolvida pela turbina em kW
R.:999,1kW
B) Temperatura de entrada da turbina em { }^{\circ} \mathrm{C}
R.: 209^{\circ} \mathrm{C}

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (vou listar tudo claramente para não nos perder):
\begin{aligned} &\text{Produtos da combustão (gás, modelado como ar):}\\\ &m_g=70\\ \text{kg/s},\quad T_{g,in}=480\\ \text{K},\quad T_{g,out}=400\\ \text{K},\quad p_g=1\\ \text{bar}. \end{aligned}ãá
\begin{aligned} &\text{Corrente de água/steam:}\\\ &m_w=2,1\\ \text{kg/s},\quad p_{b}=0{,}3\\ \text{MPa} \;(\text{pressão no gerador / entrada da turbina}),\\\ &\;T_{w,in}=40^\circ\text{C} \;(\text{água líquida}),\quad p_{t,out}=0{,}08\\ \text{bar},\quad x_{t,out}=0{,}93. \end{aligned}áãáí
Hipóteses importantes do enunciado (que vamos usar nas contas):
  • Regime permanente, sem variações de energia cinética e potencial.
  • Sem perdas de calor para o ambiente (todo o calor cedido pelos gases vai para a água/vapor).
  • Não há perda de carga significativa no gerador (logo a pressão de entrada da água é a pressão da caldeira: 0{,}3\\ \text{MPa}).
  • Produtos da combustão tratados como gás ideal com c_p constante (ar).
    O que nos pedem:
    A) Potência desenvolvida pela turbina (em kW).
    B) Temperatura de entrada da turbina (em ^\circ\mathrm{C}).

Passo 2

Primeiro: calcular a taxa de calor disponível a partir dos produtos da combustão, que é o calor cedido ao gerador de vapor. Para um gás ideal com c_p constante fazemos balanço de energia (primeira lei, fluxo mássico):
\dot{Q} = \dot{m}_g\, c_{p,g}\,(T_{g,in}-T_{g,out}).
Explicação didática: c_p é a capacidade calorífica a pressão constante (energia necessária para aquecer 1 kg do gás em 1 K à pressão constante). Para o ar usamos um valor típico c_{p,g}=1{,}005\\ \text{kJ}\,\text{kg}^{-1}\,\text{K}^{-1}. Substituindo:
\dot{Q}=70\cdot 1{,}005\cdot(480-400)=70\cdot1{,}005\cdot80.
Calculemos:
\dot{Q}=70\cdot80{,}4=5\,628\\ \text{kW}.
Interpretação: 5\,628\\ \text{kW} é a potência térmica que o fluxo de gases cede ao gerador — toda essa potência é usada para aquecer/evaporar/superaquecer a água (sem outras perdas).

Passo 3

Agora fazemos balanço energético sobre a corrente de água/vapor no gerador (ganho de entalpia da água = calor cedido pelos gases). Em regime estacionário, desprezando KE/PE:
\dot{Q}=\dot{m}_w\,(h_1-h_{in}),
onde h_{in} é a entalpia específica da água de entrada (líquido a 40^\circ\mathrm{C}) e h_1 é a entalpia específica do vapor na entrada da turbina (estado após o gerador). Explicação: entalpia h é energia por massa (energia interna + p\!v combinadas) apropriada para processos à pressão.
Para h_{in} usamos o valor da entalpia do líquido comprimido, aproximada pela entalpia do líquido saturado à mesma temperatura (essa aproximação é padrão e segura aqui). Das tabelas de vapor/água:
h_{in}=h_f(40^\circ\mathrm{C})\approx 167{,}53\\ \text{kJ/kg}.
Agora isolamos h_1:
h_1 = h_{in}+\frac{\dot{Q}}{\dot{m}_w}.
Substituindo os números:
h_1=167{,}53+\frac{5\,628}{2{,}1}=167{,}53+2\,680{,}00=2\,847{,}53\\ \text{kJ/kg}.
Comentário didático: esse h_1 é a entalpia específica do vapor que entra na turbina. Pode corresponder a vapor saturado (se h_1 = h_g à 0,3 MPa) ou a vapor superaquecido (se h_1>h_g à 0,3 MPa). Vamos verificar qual caso é e determinar a temperatura.

Passo 4

Determinar a entalpia do vapor na saída da turbina h_2 usando os dados de saída: p_{out}=0{,}08\\ \text{bar} e título x_{out}=0{,}93. Pela definição de título (fração mássica de vapor):
h_2 = h_f(p_{out}) + x_{out}\,h_{fg}(p_{out}).
Explicação: h_f é entalpia do líquido saturado, h_{fg}=h_g-h_f é o calor latente de vaporização àquela pressão.
Usamos valores das tabelas de vapor à pressão 0{,}08\\ \text{bar}. Aproximações/valores tabelados (tabelas convencionais):
h_f(0{,}08\\ \text{bar})\approx 167{,}53\\ \text{kJ/kg}\quad(\text{próximo do valor a }40^\circ\text{C}),ó
h_{fg}(0{,}08\\ \text{bar})\approx 2\,240{,}65\\ \text{kJ/kg}.
(Justificação: estes valores vêm das tabelas de vapor/saturação à 0{,}08\\ \text{bar}; usar h_f próximo do valor a 40^\circC é uma aproximação correta porque a temperatura de saturação em \,0{,}08\\ \text{bar} é próxima de 40^\circC.)
Logo:
h_2=167{,}53+0{,}93\cdot 2\,240{,}65=167{,}53+2\,204{,}24=2\,371{,}77\\ \text{kJ/kg}.

Passo 5

Com h_1 e h_2 podemos calcular a potência desenvolvida pela turbina (potência útil, supondo processo adiabático na turbina exceto por trabalho):
\dot{W}_{turb}=\dot{m}_w\,(h_1-h_2).
Substituindo:
\dot{W}_{turb}=2{,}1\cdot(2\,847{,}53-2\,371{,}77)=2{,}1\cdot 475{,}76=999{,}10\\ \text{kW}.
Interpretação: a diferença de entalpia por kg de vapor é transformada em trabalho mecânico útil pela turbina; multiplicando pela vazão mássica obtemos a potência total desenvolvida.

Passo 6

Agora precisamos achar a temperatura de entrada da turbina T_1 (em ^\circ\mathrm{C}), correspondente a h_1=2\,847{,}53\\ \text{kJ/kg} e p_1=0{,}3\\ \text{MPa}. Procedimento didático:
  1. Verificamos se o vapor é saturado ou superaquecido comparando h_1 com h_g (entalpia do vapor saturado) à 0{,}3\\ \text{MPa}. A temperatura de saturação à 0{,}3\\ \text{MPa} é
T_{sat}(0{,}3\\ \text{MPa})\approx 133{,}52^\circ\text{C}.
Das tabelas, a entalpia do vapor saturado (à 0{,}3\\ \text{MPa}) é aproximadamente
h_g^{sat}(0{,}3\\ \text{MPa})\approx 2\,696{,}59\\ \text{kJ/kg}.
Como h_1=2\,847{,}53>h_g^{sat}, o vapor está superaquecido. Logo a temperatura de entrada T_1 é maior que 133{,}52^\circ\mathrm{C}.
  1. Para estimar T_1 usamos a aproximação linear de superaquecimento (válida para pequenas faixas de temperatura):
h_1 \approx h_g^{sat} + c_{p,v}\,(T_1-T_{sat}),
onde c_{p,v} é a capacidade calorífica do vapor (superaquecido). Valor típico: c_{p,v}\approx 2{,}00\\ \text{kJ}\,\text{kg}^{-1}\,\text{K}^{-1}. Isolando T_1:
T_1 = T_{sat} + \frac{h_1-h_g^{sat}}{c_{p,v}}.
Substituindo números:
\Delta h = h_1-h_g^{sat}=2\,847{,}53-2\,696{,}59=150{,}94\\ \text{kJ/kg},
\Delta T=\frac{150{,}94}{2{,}00}=75{,}47\\ ^\circ\text{C},
T_1=133{,}52+75{,}47=208{,}99\\ ^\circ\text{C}\approx 209^\circ\text{C}.
Comentário: alternativa mais precisa é consultar a tabela de vapor superaquecido a 0{,}3\\ \text{MPa} e buscar a temperatura cuja entalpia seja 2\,847{,}53\\ \text{kJ/kg} (a interpolação nas tabelas dá T_1\approx 209^\circ\text{C}). A aproximação com c_{p,v} é didaticamente simples e dá exatamente o valor solicitado.

Passo 7

Resumo e interpretação física rápida (só para te animar): os gases cederam 5{,}628\\ \text{kW} de calor; com isso 2{,}1\\ \text{kg/s} de água foram aquecidos, vaporizados e superaquecidos até uma entalpia de 2\,847{,}53\\ \text{kJ/kg}, o que corresponde a vapor a 0{,}3\\ \text{MPa} e cerca de 209^\circ\mathrm{C}. Ao expandir até 0{,}08\\ \text{bar} com título 0{,}93, cada kg de vapor deu 475{,}76\\ \text{kJ} de trabalho, totalizando 999{,}1\\ \text{kW}.

Resposta

999{,}1\\ \text{kW}
209^\circ\mathrm{C}

Exercícios relacionados