O compressor de um refrigerador consome potência elétrica de 100 W quando a temperatura interna é de 7^{\circ} \mathrm{C} e a externa 27^{\circ} \mathrm{C}. O switch que controla a lâmpada interna empaca, e ela fica permanentemente acesa, mesmo com a porta fechada. O consumo aumenta para 105 W. Considere C O P_{R}=\frac{1}{2} C O P_{C A R N O T}. Determine a potência da lâmpada. Toda potência dissipada pelo bulbo é dissipada internamente dentro do refrigerador.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dados (retirados do enunciado):
    • Potência elétrica consumida pelo compressor com a lâmpada apagada: 100\\ \mathrm{W}.
    • Potência elétrica consumida pelo compressor com a lâmpada acesa: 105\\ \mathrm{W}.
    • Temperatura interna: 7^\circ\mathrm{C}.
    • Temperatura externa: 27^\circ\mathrm{C}.
    • Relação entre o COP real do refrigerador e o COP de Carnot: COP_{R}=\tfrac{1}{2}\,COP_{\text{Carnot}}.
    • Toda a potência do bulbo é dissipada dentro do refrigerador (ou seja, vira calor que o refrigerador precisa remover).
  • Pergunta que o enunciado faz:
    • Determinar a potência da lâmpada (em watts).

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação didática):
  • Definição de COP para um refrigerador: o coeficiente de desempenho COP_{R} é a razão entre a taxa de calor extraída do compartimento frio e a potência de trabalho elétrica fornecida ao compressor. Em fórmulas:
COP_{R}=\frac{Q_{L}}{W},
onde Q_{L} é a potência de calor removida do interior (em \mathrm{W}) e W é a potência elétrica fornecida ao compressor (em \mathrm{W}).
  • Para um ciclo de Carnot operando entre duas temperaturas em kelvin, o COP ideal (Carnot) para refrigerador é
COP_{\text{Carnot}}=\frac{T_{L}}{T_{H}-T_{L}},
onde T_{L} é a temperatura do reservatório frio (em \mathrm{K}) e T_{H} a do reservatório quente (em \mathrm{K}).
  • Interpretação prática: se o refrigerador tem COP_{R}, para cada 1\\ \mathrm{W} de trabalho elétrico o compressor consegue remover COP_{R} watts de calor do interior.

Passo 3

Converter as temperaturas de Celsius para Kelvin (explicando como):
  • A relação é T(\mathrm{K})=T(^{\circ}\mathrm{C})+273.
  • Então:
    • Temperatura interna: T_{L}=7^\circ\mathrm{C}+273=280\\ \mathrm{K}.
    • Temperatura externa: T_{H}=27^\circ\mathrm{C}+273=300\\ \mathrm{K}.

Passo 4

Calcular o COP_{\text{Carnot}} com essas temperaturas:
COP_{\text{Carnot}}=\frac{T_{L}}{T_{H}-T_{L}}=\frac{280}{300-280}=\frac{280}{20}=14.

Passo 5

Determinar o COP real do refrigerador usando a relação dada:
COP_{R}=\tfrac{1}{2}\,COP_{\text{Carnot}}=\tfrac{1}{2}\cdot14=7.
Interpretação: com esse refrigerador, cada 1\\ \mathrm{W} de trabalho elétrico permite remover 7\\ \mathrm{W} de calor do interior.

Passo 6

Determinar a taxa de calor removida do interior quando a lâmpada está apagada (estado inicial):
  • Pela definição de COP,
Q_{0}=COP_{R}\cdot W_{0}.
  • Substituindo COP_{R}=7 e W_{0}=100\\ \mathrm{W},
Q_{0}=7\cdot100=700\\ \mathrm{W}.
Isso significa que, com a lâmpada apagada, o compressor está removendo 700\\ \mathrm{W} de calor do interior (essa é a carga térmica que entra no interior e precisa ser retirada para manter 7^\circ\mathrm{C}).

Passo 7

Modelar o efeito da lâmpada acesa e achar sua potência:
  • Quando a lâmpada está acesa, ela adiciona uma potência P_{\ell} inteira e exclusivamente dentro do interior, então a nova carga térmica a ser removida é
Q_{1}=Q_{0}+P_{\ell}.
  • O COP_{R} não muda (mesmas temperaturas), logo a nova potência elétrica consumida pelo compressor é
W_{1}=\frac{Q_{1}}{COP_{R}}=\frac{Q_{0}+P_{\ell}}{COP_{R}}.
  • Substituindo Q_{0}=700\\ \mathrm{W}, COP_{R}=7 e sabendo que W_{1}=105\\ \mathrm{W}, obtemos
105=\frac{700+P_{\ell}}{7}.
  • Resolver essa equação:
    • Multiplicando ambos os lados por 7:
    105\cdot7=700+P_{\ell}.
    • Calculando o produto:
    735=700+P_{\ell}.
    • Isolando P_{\ell}:
    P_{\ell}=735-700=35\\ \mathrm{W}.

Passo 8

Verificação rápida e interpretação física:
  • A lâmpada de 35\\ \mathrm{W} introduz 35\\ \mathrm{W} de calor no interior. Com COP_{R}=7, isso exige trabalho adicional no compressor de 35/7=5\\ \mathrm{W}, exatamente a diferença observada entre 105\\ \mathrm{W} e 100\\ \mathrm{W}. Faz sentido físico e está consistente com os dados.

Resposta

\;35\\ \mathrm{W}

Exercícios relacionados