Ar é comprimido de um estado inicial de 1 bar e 25^{\circ} \mathrm{C} até um estado final de 5 bar e 25 { }^{\circ} \mathrm{C}, através de um processo mecanicamente reversível em um sistema fechado: Compressão adiabática seguida de resfriamento a V cte. Considere que o ar seja um GI com capacidades caloríficas constantes, \mathrm{Cv}=(5 / 2) \mathrm{R} e \mathrm{Cp}= (7/2)R. Calcule o W necessário, o Q transferido e as variações na U e na H do ar para este processo.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado\n
  • Dados iniciais: P_1=1\\ \text{bar}, T_1=25^\circ\mathrm{C}=298{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Estado final do processo: P_3=5\\ \text{bar}, T_3=25^\circ\mathrm{C}=298{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Processo no sistema fechado: compressão reversível adiabática (1 \to 2) seguida de resfriamento a volume constante (2 \to 3).
  • Propriedades do ar (gás ideal, capacidades constantes): C_v=\tfrac{5}{2}R, C_p=\tfrac{7}{2}R. Aqui R é a constante dos gases perfeitos ( R=8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}).
  • Não foi dada massa; por isso vou resolver por mol (base: n=1\\ \text{mol}). Os resultados serão por mol de gás.\n
    O que nos pedem: calcular o trabalho W (note a convenção que vou usar abaixo), o calor Q transferido e as variações de energia interna \Delta U e de entalpia \Delta H para o processo inteiro (1 \to 3).\n
    Observações sobre convenção de sinais (importantíssimo): vou usar a forma da primeira lei
\Delta U = Q - W,
onde W é o trabalho realizado pelo sistema (ou seja, trabalho positivo se o sistema realiza trabalho; trabalho de compressão sobre o sistema aparece como W<0). Se você quiser o “trabalho necessário” como magnitude do trabalho fornecido ao compressor, eu também vou mencionar esse valor positivo quando for apropriado.

Passo 2

Identificar relações úteis e calcular \gamma\n
  • Defino \gamma=\dfrac{C_p}{C_v}. Com C_v=\tfrac{5}{2}R e C_p=\tfrac{7}{2}R,
\gamma=\frac{C_p}{C_v}=\frac{7/2}{5/2}=\frac{7}{5}=1{,}4.
  • Para uma compressão adiabática reversível de um gás ideal (processo isentrópico), valem as relações
P V^{\gamma}=\text{constante},\qquad T V^{\gamma-1}=\text{constante}.
  • No resfriamento a volume constante, valem a lei dos gases ideais localmente ( P\propto T quando V é constante).

Passo 3

Determinar a razão de volumes V_1/V_2 usando a combinação das etapas\n
Vamos escrever as quantidades em cada ponto: 1 (início), 2 (após compressão adiabática), 3 (após resfriamento isocórico). O resfriamento é a volume constante V_2=V_3. Pela lei dos gases ideais em 3 e 2, com V_2=V_3,
\frac{P_3}{P_2}=\frac{T_3}{T_2}.
Da adiabática reversível (1 \to2) temos P_1 V_1^\gamma = P_2 V_2^\gamma, então
P_2 = P_1\left(\frac{V_1}{V_2}\right)^\gamma.
Substituindo P_2 na relação entre P_3 e P_2:
P_3 = P_2\frac{T_3}{T_2} = P_1\left(\frac{V_1}{V_2}\right)^\gamma\frac{T_3}{T_2}.
Use a relação adiabática T_2=T_1\left(\dfrac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma-1}. Assim
\frac{T_3}{T_2}=\frac{T_1}{T_2}=\left(\frac{V_2}{V_1}\right)^{\gamma-1}.
Colocando na expressão de P_3:
P_3 = P_1\left(\frac{V_1}{V_2}\right)^\gamma\left(\frac{V_2}{V_1}\right)^{\gamma-1} = P_1\left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma-(\gamma-1)} = P_1\left(\frac{V_1}{V_2}\right).
Portanto
\frac{V_1}{V_2}=\frac{P_3}{P_1}.
Com P_3=5\\ \text{bar} e P_1=1\\ \text{bar} temos
\frac{V_1}{V_2}=5.
Interpretação física: o volume foi reduzido por um fator 5 na compressão adiabática.

Passo 4

Calcular T_2 (temperatura após a compressão adiabática)\n
Usando T_2=T_1\left(\dfrac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma-1} e \gamma-1=0{,}4:
T_2 = T_1\cdot 5^{\,0{,}4}.
Calculemos numericamente: 5^{0{,}4}\approx 1{,}903654. Com T_1=298{,}15\\ \mathrm{K},
T_2 \approx 298{,}15\times 1{,}903654 \approx 567{,}6\\ \mathrm{K}.

Passo 5

Calcular a variação de energia interna na compressão adiabática 1\to2\n
Para um gás ideal com n mols,
\Delta U = n C_v (T_2-T_1).
Tomando n=1\\ \mathrm{mol} e C_v=\tfrac{5}{2}R com R=8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)},
C_v = \frac{5}{2}R = 2{,}5\times 8{,}314 \approx 20{,}785\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.
A diferença de temperatura é T_2-T_1 \approx 567{,}6-298{,}15 =269{,}45\\ \mathrm{K}. Logo
\Delta U_{1\to2} = 1\cdot 20{,}785\cdot 269{,}45 \approx 5{,}60\times 10^{3}\\ \mathrm{J}.
Comentário físico: \Delta U_{1\to2}>0, pois a compressão aquece o gás; a energia interna aumenta.

Passo 6

Trabalho na compressão adiabática (1 \to2)\n
Para a compressão adiabática reversível Q_{1\to2}=0. Pela primeira lei,
\Delta U_{1\to2} = Q_{1\to2} - W_{1\to2} \quad\Rightarrow\quad W_{1\to2} = -\Delta U_{1\to2}.
Substituindo o valor encontrado:
W_{1\to2}\approx -5{,}60\times 10^{3}\\ \mathrm{J}.
Interpretação de sinais: W_{1\to2}<0 indica que o trabalho foi realizado sobre o sistema (compressão). Se você preferir o “trabalho necessário” fornecido pelo compressor (magnitude positiva), é 5{,}60\times 10^{3}\\ \mathrm{J}.

Passo 7

Processo 2 \to3 (resfriamento a volume constante): cálculos de Q, W, \Delta U\n
  • Como o processo é isocórico, o trabalho de pressão-volume é nulo:
W_{2\to3}=0.
  • A variação de energia interna é
\Delta U_{2\to3}=n C_v (T_3-T_2)=1\cdot C_v(298{,}15-567{,}6)\\ \mathrm{K}\approx -5{,}60\times 10^{3}\\ \mathrm{J}.
  • Pelo balanço de energia, Q_{2\to3}=\Delta U_{2\to3} (já que W_{2\to3}=0), ou seja
Q_{2\to3}\approx -5{,}60\times 10^{3}\\ \mathrm{J}.
Interpretação: calor é removido do gás (sinal negativo), de magnitude 5{,}60\times 10^{3}\\ \mathrm{J}.

Passo 8

Balanço total do processo 1 \to3 e variação de entalpia\n
  • Trabalho total no processo inteiro:
W_{1\to3}=W_{1\to2}+W_{2\to3} = (-5{,}60\times 10^{3}) + 0 = -5{,}60\times 10^{3}\\ \mathrm{J}.
(Novamente: o sinal negativo indica trabalho realizado sobre o sistema; trabalho necessário = 5{,}60\times 10^{3}\\ \mathrm{J}.)\n
  • Calor total transferido:
Q_{1\to3}=Q_{1\to2}+Q_{2\to3}=0 + (-5{,}60\times 10^{3}) = -5{,}60\times 10^{3}\\ \mathrm{J}.
  • Variação de energia interna total:
\Delta U_{1\to3}=\Delta U_{1\to2}+\Delta U_{2\to3}=5{,}60\times 10^{3} + (-5{,}60\times 10^{3}) = 0.
Isso faz sentido físico: o estado final tem a mesma temperatura do inicial, para um gás ideal \Delta U depende só de T, logo \Delta U_{total}=0.\n
  • Variação de entalpia total: para gás ideal \Delta H = n C_p (T_3-T_1). Como T_3=T_1,
\Delta H_{1\to3}=0.

Resposta

W_{1\to3} = -5{,}60\times 10^{3}\\ \mathrm{J} (trabalho realizado pelo sistema; trabalho necessário ao compressor = 5{,}60\times 10^{3}\\ \mathrm{J})\n
Q_{1\to3} = -5{,}60\times 10^{3}\\ \mathrm{J}\n
\Delta U_{1\to3} = 0\n
\Delta H_{1\to3} = 0

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