Ar é comprimido de um estado inicial de 1 bar e 25^{\circ} \mathrm{C} até um estado final de 5 bar e 25 { }^{\circ} \mathrm{C}, através de um processo mecanicamente reversível em um sistema fechado: Aquecimento a V cte seguido de resfriamento a P cte. Considere que o ar seja um GI com capacidades caloríficas constantes, \mathrm{Cv}=(5 / 2) \mathrm{R} e \mathrm{Cp}= (7/2)R. Calcule o W necessário, o Q transferido e as variações na U e na H do ar para este processo.

Passo 1

Enunciado e dados (o que é pedido):
  • Ar é comprimido em sistema fechado, processo mecanicamente reversível composto por: aquecimento a volume constante seguido de resfriamento a pressão constante.
  • Estado inicial: P_1=1\\ \mathrm{bar}, T_1=25^\circ\mathrm{C}.
  • Estado final: P_2=5\\ \mathrm{bar}, T_2=25^\circ\mathrm{C}.
  • Ar modelado como gás ideal com capacidades caloríficas constantes: \displaystyle C_v=\frac{5}{2}R e \displaystyle C_p=\frac{7}{2}R.
  • Objetivo: calcular W (trabalho), Q (calor transferido), \Delta U e \Delta H para o processo.
  • Escolho uma base de cálculo: n=1 mol de ar (como a massa não foi informada, é comum resolver por mol ou por unidade de massa).

Passo 2

Conceitos e convenções que vamos usar (aula rapidinha e útil):
  • Gás ideal: equação de estado \displaystyle PV=nRT, onde P é pressão (Pa), V volume ( \mathrm{m}^3), n número de mols, R=8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}, T temperatura (K).
  • Energia interna e entalpia para gás ideal (capacidades constantes): \Delta U = n C_v \Delta T,\qquad \Delta H = n C_p \Delta T.Essas fórmulas dizem que \Delta U e \Delta H dependem só da variação de temperatura para gás ideal.
  • Primeira lei da termodinâmica para sistema fechado (com a convenção que W é trabalho realizado pelo sistema): \Delta U = Q - W \quad\Rightarrow\quad Q = \Delta U + W.
  • Trabalho de limite (reversível) para processo fechado: W=\int P\,dV.Em processos especiais: para V= constante, W=0; para P= constante, W=P\Delta V.

Passo 3

Conversão de unidades e valores numéricos iniciais:
  • Temperatura inicial e final: T_1=T_2=25^\circ\mathrm{C}=298{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Pressões em SI: P_1=1{,}0\\ \mathrm{bar}=1{,}0\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa}, P_2=5{,}0\\ \mathrm{bar}=5{,}0\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
  • Constante dos gases: R=8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.

Passo 4

Calcular volumes inicial e final por mol usando \displaystyle V=\frac{nRT}{P}:
  • V_1=\dfrac{nRT_1}{P_1}=\dfrac{1\cdot 8{,}314\cdot 298{,}15}{1{,}0\times 10^{5}}\\ \mathrm{m}^3.
    Calculando: 8{,}314\cdot 298{,}15 \approx 2\,478{,}9\\ \mathrm{J},
V_1 \approx \dfrac{2\,478{,}9}{1{,}0\times 10^{5}} \approx 0{,}024789\\ \mathrm{m}^3.
  • V_2=\dfrac{nRT_2}{P_2}=\dfrac{1\cdot 8{,}314\cdot 298{,}15}{5{,}0\times 10^{5}}\\ \mathrm{m}^3. V_2 \approx \dfrac{2\,478{,}9}{5{,}0\times 10^{5}} \approx 0{,}0049578\\ \mathrm{m}^3.

Passo 5

Entender o caminho e o estado intermediário:
  • Primeiro passo do processo: aquecimento a V= constante partindo de (P_1,V_1,T_1) até que a pressão atinja 5\\ \mathrm{bar} (pois o segundo passo é resfriamento a P= constante igual a 5\\ \mathrm{bar}). Portanto o estado intermediário tem V_{\text{int}}=V_1 e P_{\text{int}}=P_2.
  • Temperatura no estado intermediário pela lei dos gases: T_{\text{int}}=\dfrac{P_{\text{int}}V_{\text{int}}}{nR}=\dfrac{P_2}{P_1}T_1=5\cdot 298{,}15 = 1\,490{,}75\\ \mathrm{K}.(ou seja, aquecemos muito a volume constante para elevar a pressão a 5 vezes).

Passo 6

Calcular o trabalho em cada etapa e trabalho total (convenção: W trabalho realizado pelo sistema):
  • Etapa 1 (aquecimento a V= constante): W_1=0.
  • Etapa 2 (resfriamento a P= constante igual a P_2): trabalho W_2 = P_2\,(V_2 - V_{\text{int}})=P_2\,(V_2 - V_1).Substituindo números: W_2 = 5{,}0\times 10^{5}\left(0{,}0049578-0{,}024789\right)\\ \mathrm{J}.Diferença de volumes: V_2-V_1\approx -0{,}019831\\ \mathrm{m}^3. W_2 \approx 5{,}0\times 10^{5}\cdot(-0{,}019831)\approx -9\,915{,}5\\ \mathrm{J}.
  • Trabalho total do processo: W = W_1 + W_2 = 0 + (-9\,915{,}5)\\ \mathrm{J} \approx -9{,}916\\ \mathrm{kJ}\\ \text{(por mol)}.
  • Interpretação do sinal: W<0 significa que, no balanço com a convenção adotada, o trabalho realizado pelo sistema é negativo — ou seja, trabalho líquido foi feito sobre o sistema (trabalho recebido pelo sistema).

Passo 7

Calcular \Delta U e \Delta H usando dependência só de temperatura para gás ideal:
  • \displaystyle \Delta U = n C_v (T_2-T_1). Como T_2=T_1, \Delta U = 1\cdot \frac{5}{2}R\cdot(298{,}15-298{,}15)=0\\ \mathrm{J}.
  • \displaystyle \Delta H = n C_p (T_2-T_1). Como T_2=T_1, \Delta H = 1\cdot \frac{7}{2}R\cdot(298{,}15-298{,}15)=0\\ \mathrm{J}.
  • Comentário físico: isso é esperado — em um gás ideal, energia interna e entalpia dependem só da temperatura; como o processo começa e termina na mesma temperatura, \Delta U e \Delta H são nulas.

Passo 8

Calcular Q a partir da primeira lei:
  • Usando \Delta U = Q - W, temos Q=\Delta U + W.
  • Como \Delta U=0, então Q=W.
  • Portanto, por mol: Q \approx -9\,915{,}5\\ \mathrm{J}\approx -9{,}916\\ \mathrm{kJ}.
  • Interpretação: calor total transferido é negativo; houve, no conjunto do processo, remoção líquida de calor do sistema (calor saiu do ar).

Resposta

W \approx -9{,}916\\ \mathrm{kJ\\ (por\\ mol)}
Q \approx -9{,}916\\ \mathrm{kJ\\ (por\\ mol)}
\Delta U = 0\\ \mathrm{J\\ (por\\ mol)}
\Delta H = 0\\ \mathrm{J\\ (por\\ mol)}

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