Um gás ideal é inicialmente mantido no estado
. Esse gás é levado ao mesmo estado final
por dois caminhos diferentes:
- Processo A (adiabático reversível): o gás é comprimido adiabaticamente
até atingir
.
- Processo B (isotérmico): o gás é comprimido isotermicamente até atingir o mesmo
.
Assuma que o gás seja monoatômico, com
, e que se comporte como gás ideal.
- Determine, em cada processo, o trabalho realizado sobre o gás.
- Compare as variações de energia interna
nos dois casos.
- Explique, com base nos resultados, por que os trabalhos diferem entre as duas transformações, embora o estado final de volume seja o mesmo.
(Dado: 1 atm
Pa}. Considere
quando realizado sobre o gás.)
(Dado: 1 atm
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
- Determinar, em cada processo, o trabalho realizado sobre o gás (considere
quando realizado sobre o gás). - Comparar as variações de energia interna
nos dois casos. - Explicar por que os trabalhos diferem, apesar do mesmo volume final.
Dados fornecidos (vou listar em unidades SI para calcular):
gás monoatômico com
e comportamento de gás ideal.
Observação importante que vamos usar: trabalho sobre o gás é
. A primeira lei da termodinâmica (na convenção
quando realizado sobre o gás) é
Passo 2
Conceitos e fórmulas úteis (explicando o que cada coisa significa):
- Lei dos gases ideais:
. Aqui é pressão, volume, número de mols, constante dos gases, temperatura. - Trabalho realizado pelo gás em um processo reversível:
. Como queremos o trabalho sobre o gás, usamos . - Para compressão isotérmica (temperatura constante
): e
- Para compressão adiabática reversível (sem troca de calor,
): vale a relação
Assim
. Integrando para obter o trabalho:
Usando
e
pode-se reescrever (fórmula útil que vamos usar):
onde
no processo adiabático é obtido por
.
- Energia interna de um gás ideal monoatômico:
, logo a variação com . Em particular, depende só de : em processo isotérmico .
Passo 3
- Obter
no processo adiabático usando .
- Calcular
. Usando potência: . Logo
- Calcular
e :
- Aplicar a fórmula do trabalho sobre o gás:
Como
:
Arredondando razoavelmente:
Passo 4
Para o processo adiabático reversível temos
. Pela primeira lei:
Portanto
(Isto também é consistente com
, pois a compressão adiabática aumenta
e portanto
.)
Passo 5
Para isotérmico
constante, usando
, o trabalho sobre o gás é
Já calculamos
e
, logo
Arredondando:
Passo 6
Em processo isotérmico de gás ideal,
é constante, então a energia interna não muda:
Pela primeira lei, isso implica que o calor trocado com o reservatório é
(isto é, calor sai do gás durante a compressão para manter
constante).
Passo 7
Resultados numéricos:
Explicação física e matemática, passo a passo (didática):
- O trabalho realizado depende do caminho no diagrama
- : . Dois caminhos diferentes (adiabático e isotérmico) têm pressões diferentes para volumes intermédios, portanto as integrais são diferentes. - Para a mesma razão
durante a compressão, as pressões são
Como
, para
vale
, ou seja
ao longo do caminho de compressão. Logo a integral de
é maior no adiabático: comprimir adiabaticamente exige pressionar contra uma pressão instantânea maior.
- Termodinâmicamente: na compressão isotérmica o sistema pode ceder calor ao ambiente (
) de modo que a energia interna não aumente; parte da energia fornecida como trabalho é retirada como calor. No adiabático não há troca de calor ( ), então todo o trabalho realizado sobre o gás aumenta sua energia interna — logo é necessário mais trabalho para levar o gás ao mesmo volume final sem perder energia por calor.
Resposta
-
e -
-
Os trabalhos diferem porque o trabalho é a integral de
ao longo do caminho; no adiabático é maior para volumes intermediários (pois com ) e não há perda de energia por calor, enquanto no isotérmico parte da energia entra/ sai como calor para manter constante, resultando em menor trabalho necessário.