Um gás ideal é inicialmente mantido no estado P_{1}=1,0 \mathrm{~atm} \mathrm{e} V_{1}=4,0 \mathrm{~L}. Esse gás é levado ao mesmo estado final V_{2}=1,0 L por dois caminhos diferentes:
  • Processo A (adiabático reversível): o gás é comprimido adiabaticamente (\mathrm{Q}=0) até atingir V_{2}.
  • Processo B (isotérmico): o gás é comprimido isotermicamente até atingir o mesmo V_{2}.
Assuma que o gás seja monoatômico, com \gamma=5 / 3, e que se comporte como gás ideal.
  1. Determine, em cada processo, o trabalho realizado sobre o gás.
  2. Compare as variações de energia interna \Delta \mathrm{U} nos dois casos.
  3. Explique, com base nos resultados, por que os trabalhos diferem entre as duas transformações, embora o estado final de volume seja o mesmo.
    (Dado: 1 atm =1,0 \times 105 Pa}. Considere W>0 quando realizado sobre o gás.)

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  1. Determinar, em cada processo, o trabalho realizado sobre o gás (considere W>0 quando realizado sobre o gás).
  2. Comparar as variações de energia interna \Delta U nos dois casos.
  3. Explicar por que os trabalhos diferem, apesar do mesmo volume final.
Dados fornecidos (vou listar em unidades SI para calcular):
P_{1}=1{,}0\\ \text{atm}=1{,}0\times10^{5}\\ \mathrm{Pa},
V_{1}=4{,}0\\ \mathrm{L}=4{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m^{3}},
V_{2}=1{,}0\\ \mathrm{L}=1{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m^{3}},
gás monoatômico com \gamma=\tfrac{5}{3} e comportamento de gás ideal.
Observação importante que vamos usar: trabalho sobre o gás é W_{\text{on}}=-\displaystyle\int_{V_{1}}^{V_{2}}P\,dV. A primeira lei da termodinâmica (na convenção W>0 quando realizado sobre o gás) é
\Delta U = Q + W.

Passo 2

Conceitos e fórmulas úteis (explicando o que cada coisa significa):
  • Lei dos gases ideais: \displaystyle P V = n R T. Aqui P é pressão, V volume, n número de mols, R constante dos gases, T temperatura.
  • Trabalho realizado pelo gás em um processo reversível: \displaystyle W_{\text{by}}=\int_{V_{1}}^{V_{2}}P\,dV. Como queremos o trabalho sobre o gás, usamos W_{\text{on}}=-W_{\text{by}}.
  • Para compressão isotérmica (temperatura constante T): P=\dfrac{nRT}{V} e
W_{\text{on,iso}}=-\int_{V_{1}}^{V_{2}}\frac{nRT}{V}\,dV = nRT\ln\!\left(\frac{V_{1}}{V_{2}}\right).
  • Para compressão adiabática reversível (sem troca de calor, Q=0): vale a relação
P V^{\gamma}=\text{constante}.
Assim P=C V^{-\gamma}. Integrando para obter o trabalho:
W_{\text{on,ad}}=-\int_{V_{1}}^{V_{2}} C V^{-\gamma}\,dV = \frac{C}{\gamma-1}\left(V_{2}^{\,1-\gamma}-V_{1}^{\,1-\gamma}\right).
Usando C=P_{1}V_{1}^{\gamma} e P V = n R T pode-se reescrever (fórmula útil que vamos usar):
W_{\text{on,ad}}=\frac{P_{2}V_{2}-P_{1}V_{1}}{\gamma-1},
onde P_{2} no processo adiabático é obtido por P_{2}=P_{1}\left(\dfrac{V_{1}}{V_{2}}\right)^{\gamma}.
  • Energia interna de um gás ideal monoatômico: U=\dfrac{3}{2}nRT, logo a variação \Delta U=n C_{V}\Delta T com C_{V}=\dfrac{3}{2}R. Em particular, \Delta U depende só de \Delta T: em processo isotérmico \Delta U=0.

Passo 3

  1. Obter P_{2} no processo adiabático usando P_{2}=P_{1}\left(\dfrac{V_{1}}{V_{2}}\right)^{\gamma}.
\left(\frac{V_{1}}{V_{2}}\right)=\frac{4{,}0\times10^{-3}}{1{,}0\times10^{-3}}=4.
P_{2}=P_{1}\,4^{\gamma}=1{,}0\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}\times 4^{5/3}.
  1. Calcular 4^{5/3}. Usando potência: 4^{5/3}\approx 10{,}0793684. Logo
P_{2}\approx 1{,}0\times10^{5}\times 10{,}0793684=1{,}00793684\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
  1. Calcular P_{1}V_{1} e P_{2}V_{2}:
P_{1}V_{1}=1{,}0\times10^{5}\times 4{,}0\times10^{-3}=400\\ \mathrm{J},
P_{2}V_{2}=1{,}00793684\times10^{6}\times 1{,}0\times10^{-3}=1007{,}93684\\ \mathrm{J}.
  1. Aplicar a fórmula do trabalho sobre o gás:
W_{\text{on,ad}}=\frac{P_{2}V_{2}-P_{1}V_{1}}{\gamma-1}.
Como \gamma-1=\tfrac{5}{3}-1=\tfrac{2}{3}:
W_{\text{on,ad}}=\frac{1007{,}93684-400}{2/3}= \frac{607{,}93684}{2/3}\approx 911{,}90526\\ \mathrm{J}.
Arredondando razoavelmente:
W_{\text{on,ad}}\approx 9,12\times10^{2}\\ \mathrm{J}\quad(\text{ou }912\\ \mathrm{J}).

Passo 4

Para o processo adiabático reversível temos Q=0. Pela primeira lei:
\Delta U = Q + W = 0 + W_{\text{on,ad}} = W_{\text{on,ad}}.
Portanto
\Delta U_{\text{ad}} \approx 912\\ \mathrm{J}.
(Isto também é consistente com \Delta U = n C_{V}(T_{2}-T_{1}), pois a compressão adiabática aumenta T e portanto \Delta U>0.)

Passo 5

Para isotérmico T= constante, usando nRT=P_{1}V_{1}, o trabalho sobre o gás é
W_{\text{on,iso}}=nRT\ln\!\left(\frac{V_{1}}{V_{2}}\right)=P_{1}V_{1}\ln\!\left(\frac{V_{1}}{V_{2}}\right).
Já calculamos P_{1}V_{1}=400\\ \mathrm{J} e \dfrac{V_{1}}{V_{2}}=4, logo
W_{\text{on,iso}}=400\ln(4)=400\times 1{,}3862943611\approx 554{,}5177\\ \mathrm{J}.
Arredondando:
W_{\text{on,iso}}\approx 5,55\times10^{2}\\ \mathrm{J}\quad(\text{ou }554{,}5\\ \mathrm{J}).

Passo 6

Em processo isotérmico de gás ideal, T é constante, então a energia interna não muda:
\Delta U_{\text{iso}}=0.
Pela primeira lei, isso implica que o calor trocado com o reservatório é Q_{\text{iso}}=-W_{\text{on,iso}} (isto é, calor sai do gás durante a compressão para manter T constante).

Passo 7

Resultados numéricos:
W_{\text{on,ad}}\approx 912\\ \mathrm{J},\qquad W_{\text{on,iso}}\approx 554{,}5\\ \mathrm{J}.
\Delta U_{\text{ad}}\approx 912\\ \mathrm{J},\qquad \Delta U_{\text{iso}}=0.
Explicação física e matemática, passo a passo (didática):
  • O trabalho realizado depende do caminho no diagrama P- V: W_{\text{by}}=\int P\,dV. Dois caminhos diferentes (adiabático e isotérmico) têm pressões diferentes para volumes intermédios, portanto as integrais são diferentes.
  • Para a mesma razão V_{1}/V durante a compressão, as pressões são
P_{\text{ad}}=P_{1}\left(\frac{V_{1}}{V}\right)^{\gamma},\qquad P_{\text{iso}}=P_{1}\left(\frac{V_{1}}{V}\right).
Como \gamma>1, para V<V_{1} vale \left(\dfrac{V_{1}}{V}\right)^{\gamma}>\dfrac{V_{1}}{V}, ou seja P_{\text{ad}}>P_{\text{iso}} ao longo do caminho de compressão. Logo a integral de P\,dV é maior no adiabático: comprimir adiabaticamente exige pressionar contra uma pressão instantânea maior.
  • Termodinâmicamente: na compressão isotérmica o sistema pode ceder calor ao ambiente ( Q_{\text{iso}}<0) de modo que a energia interna não aumente; parte da energia fornecida como trabalho é retirada como calor. No adiabático não há troca de calor ( Q=0), então todo o trabalho realizado sobre o gás aumenta sua energia interna — logo é necessário mais trabalho para levar o gás ao mesmo volume final sem perder energia por calor.

Resposta

  1. W_{\text{on,ad}}\approx 9,12\times10^{2}\\ \mathrm{J} e W_{\text{on,iso}}\approx 5,545\times10^{2}\\ \mathrm{J}.
  2. \Delta U_{\text{ad}}\approx 9,12\times10^{2}\\ \mathrm{J},\quad \Delta U_{\text{iso}}=0.
  3. Os trabalhos diferem porque o trabalho é a integral de P\,dV ao longo do caminho; no adiabático P é maior para volumes intermediários (pois P\propto V^{-\gamma} com \gamma>1) e não há perda de energia por calor, enquanto no isotérmico parte da energia entra/ sai como calor para manter T constante, resultando em menor trabalho necessário.

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