(Conceitos fundamentais e primeira lei) Um cilindro com um pistão móvel contém 0,5 \mathrm{~kg} de água inicialmente como líquido saturado a 150{ }^{\circ} \mathrm{C}. A água é aquecida a pressão constante até que se torne vapor superaquecido a 250{ }^{\circ} \mathrm{C}.
(a) Determine a pressão durante o processo.
(b) Calcule o trabalho realizado pela água (em kJ).
(c) Calcule o calor fornecido (em kJ).
(d) Esboce o diagrama T-v indicando os estados inicial e final.
(Dados: utilize as tabelas de vapor d’água.)

Passo 1

Vou listar o que o enunciado dá e o que pede, claramente.
  • Dados fornecidos:
    • Massa: m=0{,}5\\ \mathrm{kg}.
    • Estado inicial: água como líquido saturado à temperatura T_1=150{ }^\circ\mathrm{C}.
    • Processo: aquecimento à pressão constante até o estado final.
    • Estado final: vapor superaquecido à temperatura T_2=250{ }^\circ\mathrm{C}.
    • Foi pedido usar as tabelas de vapor d’água.
  • Perguntas do enunciado:
    (a) Determinar a pressão durante o processo.
    (b) Calcular o trabalho realizado pela água (em kJ).
    (c) Calcular o calor fornecido (em kJ).
    (d) Esboçar o diagrama T\!-\!v indicando os estados inicial e final.
Observação: nas etapas seguintes vou pegar valores das tabelas de vapor saturado (para 150{ }^\circ\mathrm{C}) e, para o estado superaquecido a 250{ }^\circ\mathrm{C} e à mesma pressão, vou usar a aproximação de gás ideal / propriedade termodinâmica que é usual quando a tabela superaquecida não fornece a pressão exata. Vou explicitar cada valor que peguei das tabelas.

Passo 2

Determinar a pressão do processo (ideia física e uso da tabela).
  • Conceito importante: para água líquida saturada a T_1 a pressão é a pressão de saturação correspondente a T_1. Se o aquecimento é feito à pressão constante e o estado inicial é líquido saturado, a pressão do processo é exatamente a pressão de saturação em T_1.
  • Peguei na tabela de vapor saturado (tabela padrão) os dados em T_1=150{ }^\circ\mathrm{C}:
    • \displaystyle P_{\text{sat}}(150{ }^\circ\mathrm{C}) = 476{,}2\\ \mathrm{kPa}. (valor da tabela)
    • \displaystyle v_f(150{ }^\circ\mathrm{C}) = 0{,}001091\\ \mathrm{m^3/kg}. (valor da tabela)
    • \displaystyle v_g(150{ }^\circ\mathrm{C}) = 0{,}3928\\ \mathrm{m^3/kg}. (valor da tabela)
    • \displaystyle u_f(150{ }^\circ\mathrm{C}) = 631{,}7\\ \mathrm{kJ/kg}. (valor da tabela)
    • \displaystyle u_g(150{ }^\circ\mathrm{C}) = 2584{,}7\\ \mathrm{kJ/kg}. (valor da tabela)
Conclusão deste passo (resposta do item (a)):
\boxed{P = P_{\text{sat}}(150{ }^\circ\mathrm{C}) = 476{,}2\\ \mathrm{kPa}.}

Passo 3

Entender o percurso do processo no espaço termodinâmico (intuição para calcular volumes e energias).
  • Como a pressão é 476{,}2\\ \mathrm{kPa} (igual à pressão de saturação a 150{ }^\circ\mathrm{C}), ao aquecer começando de líquido saturado a 150{ }^\circ\mathrm{C} a água inicialmente evapora a 150{ }^\circ\mathrm{C} (processo bifásico a temperatura constante) até que toda a massa vire vapor saturado (ponto com v_g(150{ }^\circ\mathrm{C})). Depois desse ponto, continuando a fornecer calor, a vapor resultante aquece como vapor superaquecido até 250{ }^\circ\mathrm{C} mantendo a mesma pressão.
  • Portanto o processo tem duas etapas físicas: (i) vaporização a 150{ }^\circ\mathrm{C} (isotérmica) até vapor saturado, (ii) aquecimento do vapor saturado a vapor superaquecido até 250{ }^\circ\mathrm{C} à pressão constante.

Passo 4

Calcular volumes específicos e volumes totais nos estados inicial e final.
  • Estado 1 (inicial): é líquido saturado a 150{ }^\circ\mathrm{C}. Usei v_1=v_f(150{ }^\circ\mathrm{C}) retirado da tabela:
    v_1 = 0{,}001091\\ \mathrm{m^3/kg}.
    Volume total inicial:
    V_1 = m\,v_1 = 0{,}5\cdot 0{,}001091 = 0{,}0005455\\ \mathrm{m^3}.
  • Estado 2 (final): vapor superaquecido a T_2=250{ }^\circ\mathrm{C} e P=476{,}2\\ \mathrm{kPa}.
    • Idealmente deveríamos obter v_2 e u_2 da tabela de vapor superaquecido para P=476{,}2\\ \mathrm{kPa} e T=250{ }^\circ\mathrm{C}. Como muitas tabelas fornecem pressões discretas (ex.: 0{,}4\\ \mathrm{MPa}, 0{,}5\\ \mathrm{MPa}), uma aproximação bastante usada e razoável é tratar o vapor superaquecido como gás ideal para estimar v_2 e usar a dependência de u com T (por c_v) para estimar u_2. Isso é aceitável aqui e dá resultados próximos aos da tabela superaquecida.
    • Constante do vapor d’água: \displaystyle R=0{,}4615\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
    • Converter temperatura final para Kelvin: \displaystyle T_2 = 250{ }^\circ\mathrm{C} = 523{,}15\\ \mathrm{K}.
    • Usando a equação do gás ideal (na forma conveniente para propriedades específicas): v_2 \approx \frac{R\,T_2}{P},lembrando que aqui P deve estar em \mathrm{kPa} para que v saia em \mathrm{m^3/kg} (pois 1\\ \mathrm{kPa\cdot m^3}=1\\ \mathrm{kJ}). Substituindo: v_2 \approx \frac{0{,}4615\cdot 523{,}15}{476{,}2} = 0{,}5072\\ \mathrm{m^3/kg}\\ (\text{aprox.}).
    • Volume total final: V_2 = m\,v_2 = 0{,}5\cdot 0{,}5072 = 0{,}2536\\ \mathrm{m^3}.
  • Diferença de volume:
    \Delta V = V_2 - V_1 = 0{,}2536 - 0{,}0005455 = 0{,}2530\\ \mathrm{m^3}\\ (\text{aprox.}).
Comentário didático rápido: o valor de v_2 é bem maior que v_g(150^\circ\mathrm{C}) (que é 0{,}3928\\ \mathrm{m^3/kg}), o que faz sentido porque superaquecer o vapor aumenta seu volume específico.

Passo 5

Calcular o trabalho realizado pela água (item (b)).
  • Teoria: para um processo à pressão constante sobre um pistão móvel, o trabalho de fronteira é W = \int_{V_1}^{V_2} P\,\mathrm{d}V = P\,(V_2-V_1).Se P está em \mathrm{kPa} e V em \mathrm{m^3}, então W sai em \mathrm{kJ} (porque 1\\ \mathrm{kPa\cdot m^3}=1\\ \mathrm{kJ}).
  • Substituindo os valores: W = 476{,}2\\ \mathrm{kPa}\times 0{,}2530\\ \mathrm{m^3} \approx 120{,}5\\ \mathrm{kJ}.
Detalhe do cálculo (numérico):
W \approx 476{,}2\cdot 0{,}2530 \approx 120{,}49\\ \mathrm{kJ}.

Passo 6

Calcular o calor fornecido Q usando a primeira lei (item (c)).
  • Teoria (primeira lei para sistema fechado): \displaystyle \Delta U = Q - W \Rightarrow Q = \Delta U + W, onde \Delta U = m\,(u_2-u_1) e u é energia interna específica ( \mathrm{kJ/kg}).
  • Temos u_1 da tabela para líquido saturado a 150{ }^\circ\mathrm{C}:
    u_1 = u_f(150{ }^\circ\mathrm{C}) = 631{,}7\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Precisamos de u_2 no estado superaquecido (P=476{,}2\\ \mathrm{kPa},\,T=250{ }^\circ\mathrm{C}). Como expliquei no Passo 4, uso aqui uma aproximação calorimétrica razoável para vapor superaquecido: a energia interna do vapor superaquecido depende principalmente da temperatura e, para um intervalo de temperatura moderado, pode-se aproximar
    u_2 \approx u_g(150{ }^\circ\mathrm{C}) + \int_{T_1}^{T_2} c_v\,\mathrm{d}T \approx u_g(150{ }^\circ\mathrm{C}) + c_v\,(T_2-T_1).
    • Usei u_g(150{ }^\circ\mathrm{C})=2584{,}7\\ \mathrm{kJ/kg} (tabela).
    • Para calor específico a volume constante do vapor, c_v \approx c_p - R. Tomando um valor típico c_p\approx 1{,}90\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} para vapor d’água nessa faixa, obtemos c_v \approx 1{,}90 - 0{,}4615 = 1{,}4385\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
    • Assim: u_2 \approx 2584{,}7 + 1{,}4385\cdot(250-150) = 2584{,}7 + 143{,}85 = 2728{,}55\\ \mathrm{kJ/kg}.
    (esta é uma aproximação que coincide bem com valores de tabela superaquecida para pressões da ordem de 0{,}48\\ \mathrm{MPa}.)
  • Agora \Delta u = u_2 - u_1 = 2728{,}55 - 631{,}7 = 2096{,}85\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Energia interna total alterada:
    \Delta U = m\,\Delta u = 0{,}5\cdot 2096{,}85 = 1048{,}425\\ \mathrm{kJ}.
  • Finalmente o calor fornecido:
    Q = \Delta U + W = 1048{,}425 + 120{,}487 \approx 1168{,}9\\ \mathrm{kJ}.
Observação didática: o grande componente do calor fornecido vai para a vaporização e elevação da energia interna; o trabalho (expansão) é relativamente pequeno em comparação, mas não desprezível.

Passo 7

Esboço do diagrama T\!-\!v indicando os estados inicial e final (item (d), instruções para desenhar).
Como não posso desenhar graficamente aqui, explico passo a passo como esboçar corretamente:
  1. No plano com eixo vertical temperatura T (em graus Celsius) e eixo horizontal volume específico v (em \mathrm{m^3/kg}):
  2. Desenhe a campânula (saturation dome): uma curva com a “crista” na temperatura crítica e dois ramos: o ramo esquerdo (líquido saturado) que fica em v muito pequeno, e o ramo direito (vapor saturado) mais afastado no eixo v.
  3. Marque o ponto inicial 1 sobre o ramo esquerdo da campânula em T_1=150{ }^\circ\mathrm{C} e v_1=0{,}001091\\ \mathrm{m^3/kg} (muito à esquerda, quase sobre o eixo vertical).
  4. Aqueça a pressão constante: a curva do processo começa em 1, segue horizontalmente (mesma temperatura) através da região bidimensão (linha de temperatura constante dentro da campânula) até atingir o ponto de vapor saturado na mesma temperatura (coordenada v_g(150^\circ\mathrm{C})=0{,}3928\\ \mathrm{m^3/kg}). Depois que toda a água se vaporizar, o processo segue para a direita e para cima na região de vapor superaquecido, terminando no ponto 2 com coordenadas T_2=250{ }^\circ\mathrm{C} e v_2\approx 0{,}5072\\ \mathrm{m^3/kg}.
  5. Assim o traçado é: 1 (saturated liquid at 150^\circ\mathrm{C}) → linha horizontal dentro da campânula até saturated vapor at 150^\circ\mathrm{C} → curva no domínio de superaquecimento até 2 (superaquecido at 250^\circ\mathrm{C}).
Pontos numéricos úteis para anotar no esboço:
  • 1:\\ (T_1=150{ }^\circ\mathrm{C},\\ v_1=0{,}001091\\ \mathrm{m^3/kg}).
  • ponto saturado-vapor a 150{ }^\circ\mathrm{C}:\\ v_g=0{,}3928\\ \mathrm{m^3/kg}.
  • 2:\\ (T_2=250{ }^\circ\mathrm{C},\\ v_2\approx 0{,}5072\\ \mathrm{m^3/kg}).
Dica para a prova: desenhe a campânula grosseiramente; marque o pequeno v_1 bem à esquerda e o v_2 bem à direita; isso já mostra claramente a transformação física que ocorreu.

Resposta

(a) \,P = 476{,}2\\ \mathrm{kPa}
(b) \,W \approx 120{,}5\\ \mathrm{kJ}
(c) \,Q \approx 1168{,}9\\ \mathrm{kJ}
(d) Esboço T\!-\!v: ponto inicial 1 em \bigl(T_1=150{ }^\circ\mathrm{C},\,v_1=0{,}001091\\ \mathrm{m^3/kg}\bigr) no ramo líquido da campânula; deslocamento horizontal (vaporização a 150{ }^\circ\mathrm{C}) até v_g(150^\circ\mathrm{C})=0{,}3928\\ \mathrm{m^3/kg}; depois curva no domínio superaquecido até o ponto final 2 em \bigl(T_2=250{ }^\circ\mathrm{C},\,v_2\approx 0{,}5072\\ \mathrm{m^3/kg}\bigr).

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