(Gás ideal, variação de entropia) Um mol de nitrogênio \left(N_{2}\right) é aquecido de 300 K a 600 K a pressão constante de 1 bar. Considere o N_{2} como gás ideal com capacidade calorífica c_{p}(T)=29,0+0,0022 T(\mathrm{~J} /(\mathrm{mol} \cdot \mathrm{K})), com T em Kelvin.
(a) Calcule a variação de entalpia \Delta h e a variação de entropia \Delta s do gás.
(b) Se o processo fosse realizado a volume constante, qual seria a variação de energia interna \Delta u ? Justifique a diferença.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tudo o que vou usar vem do enunciado ou de constantes conhecidas).
  • Dados fornecidos:
    • Um mol de N_{2} (ou seja, n=1 mol).
    • Temperaturas inicial e final: T_{1}=300\\ \mathrm{K} e T_{2}=600\\ \mathrm{K}.
    • Processo a pressão constante p=1\\ \mathrm{bar} (informação que justifica o uso de c_{p}(T) para calor trocado a pressão constante).
    • Capacidade calorífica molar dada: \displaystyle c_{p}(T)=29{,}0+0{,}0022\,T \mathrm{J/(mol\cdot K)}, com T em Kelvin.
    • Constante dos gases ideais (valor usado): \displaystyle R=8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.
  • O que o enunciado pede:
    (a) Calcular a variação de entalpia \Delta h e a variação de entropia \Delta s do gás para o aquecimento de 300\\ \mathrm{K} a 600\\ \mathrm{K} à pressão constante.
    (b) Se o processo fosse realizado a volume constante, qual seria a variação de energia interna \Delta u? Justificar a diferença entre \Delta h e \Delta u.

Passo 2

Fórmulas e ideias que vamos usar (explicadas com calma):
  • Entalpia molar e capacidade calorífica a pressão constante:
    • Por definição, para um gás ideal e em processo infinitesimal a pressão constante, o calor reversível recebido por mol é \delta q_{p}=c_{p}(T)\,dT.
    • A variação de entalpia molar entre T_{1} e T_{2} é a integral dessa capacidade: \Delta h=\int_{T_{1}}^{T_{2}} c_{p}(T)\,dT.
    • Aqui c_{p}(T) é a capacidade molar à pressão constante (unidade \mathrm{J/(mol\cdot K)}), e dT é a variação infinitesimal da temperatura.
  • Entropia molar:
    • Para um processo reversível, a variação de entropia molar é \displaystyle \Delta s=\int_{T_{1}}^{T_{2}} \frac{\delta q_{\text{rev}}}{T}.
    • No aquecimento à pressão constante com gás ideal, \delta q_{\text{rev}}=c_{p}(T)\,dT, então \Delta s=\int_{T_{1}}^{T_{2}} \frac{c_{p}(T)}{T}\,dT.
    • Note que essa fórmula vem diretamente da definição termodinâmica de entropia: somatório (integral) de calor reversível dividido por temperatura.
  • Energia interna molar:
    • Para gás ideal vale h=u+RT (entalpia molar h = energia interna molar u + pV com pV=RT por mol).
    • Portanto, para variações: \Delta h=\Delta u+R\Delta T \quad\Rightarrow\quad \Delta u=\Delta h-R\Delta T.
    • Isso é útil para comparar processos a pressão constante (onde usamos c_p) e a volume constante (onde a variação de energia interna é \int c_{v}(T)\,dT, e c_{v}(T)=c_{p}(T)-R para gás ideal).
Agora que as fórmulas estão claras, aplicamos com o c_{p}(T) dado.

Passo 3

Cálculo de \Delta h.
  • Escrevo a integral com o c_{p}(T) dado: \Delta h=\int_{300}^{600} \big(29{,}0+0{,}0022\,T\big)\,dT.
  • Faço a integral termo a termo: \Delta h = \int_{300}^{600} 29{,}0\,dT \;+\; \int_{300}^{600} 0{,}0022\,T\,dT.
\Delta h = 29{,}0\,(T_{2}-T_{1}) \;+\; 0{,}0022\cdot\frac{1}{2}\big(T_{2}^{2}-T_{1}^{2}\big).
  • Substituo T_{1}=300 e T_{2}=600: 29{,}0\,(600-300)=29{,}0\cdot300=8700\\ \mathrm{J/mol}.
0{,}0022\cdot\frac{1}{2}\big(600^{2}-300^{2}\big)=0{,}0011\cdot(360000-90000)=0{,}0011\cdot270000=297\\ \mathrm{J/mol}.
  • Somando: \Delta h = 8700 + 297 = 8997\\ \mathrm{J/mol}.
  • Podemos também apresentar em kJ/mol: \Delta h \approx 9{,}00\\ \mathrm{kJ/mol}.

Passo 4

Cálculo de \Delta s.
  • Uso a expressão \displaystyle \Delta s=\int_{300}^{600}\frac{c_{p}(T)}{T}\,dT e substituo c_{p}(T): \Delta s=\int_{300}^{600}\left(\frac{29{,}0}{T}+0{,}0022\right)\,dT.
  • Integro termo a termo: \Delta s = 29{,}0\int_{300}^{600}\frac{dT}{T} + 0{,}0022\int_{300}^{600} dT.
\Delta s = 29{,}0\ln\!\left(\frac{T_{2}}{T_{1}}\right) + 0{,}0022\,(T_{2}-T_{1}).
  • Substituo T_{1}=300, T_{2}=600: \ln\!\left(\frac{600}{300}\right)=\ln(2)\approx0{,}693147.
29{,}0\cdot\ln 2 \approx 29{,}0\cdot0{,}693147 \approx 20{,}101.
0{,}0022\cdot(600-300)=0{,}0022\cdot300=0{,}66.
  • Somando: \Delta s \approx 20{,}101 + 0{,}66 = 20{,}761\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.
  • Arredondando de forma conveniente: \Delta s \approx 20{,}76\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.

Passo 5

Cálculo de \Delta u para processo a volume constante e justificativa física.
  • Para gás ideal vale c_{v}(T)=c_{p}(T)-R. Então a variação de energia interna molar ao aquecer de T_{1} a T_{2} é
    \Delta u=\int_{T_{1}}^{T_{2}} c_{v}(T)\,dT=\int_{T_{1}}^{T_{2}} \big(c_{p}(T)-R\big)\,dT.
  • Isso é equivalente a usar a relação direta entre variações:
    \Delta u=\Delta h - R\Delta T.
    (Explicação rápida: h=u+RT por mol para gás ideal, então \Delta h=\Delta u+R\Delta T.)
  • Já calculamos \Delta h=8997\\ \mathrm{J/mol}. Calculo R\Delta T:
    R\Delta T = 8{,}314\cdot(600-300)=8{,}314\cdot300=2494{,}2\\ \mathrm{J/mol}.
  • Assim
    \Delta u = 8997 - 2494{,}2 = 6502{,}8\\ \mathrm{J/mol}.
  • Arredondando:
    \Delta u \approx 6503\\ \mathrm{J/mol} \approx 6{,}503\\ \mathrm{kJ/mol}.
  • Justificativa física da diferença:
    • Em um aquecimento à pressão constante parte do calor recebido vai para aumentar a energia interna e parte é gasta realizando trabalho de expansão p\,\Delta V. Para um mol de gás ideal, p\Delta V = R\Delta T.
    • A variação de entalpia \Delta h mede o calor recebido a pressão constante (inclui o trabalho de expansão), enquanto \Delta u mede apenas o aumento da energia interna (o que seria obtido se todo o calor fosse retido sem trabalho — processo a volume constante). Por isso \Delta h é maior que \Delta u exatamente em R\Delta T.

Resposta

\Delta h=8997\\ \mathrm{J/mol}\approx9{,}00\\ \mathrm{kJ/mol}
\Delta s=20{,}76\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}
\Delta u=6503\\ \mathrm{J/mol}\approx6{,}503\\ \mathrm{kJ/mol}

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