Conforme visto nas nossas aulas, as transformadas de Legendre desempenham um papel fundamental em termodinâmica, pois, por meio das quais, as transformadas da relação fundamental \mathrm{U}=\mathrm{U}(\mathrm{S}, \mathrm{V}, \mathrm{N}) dão origem aos famosos potenciais termodinâmicos. Considere o caso mais simples de uma relação fundamental do tipo \mathbf{y}(\mathbf{x})=\mathbf{A e}^{\mathbf{B x}}, onde A e B são constante, e determine a transformada de Legendre de \mathrm{y}(\mathrm{x}) para obter a relação \psi(\mathrm{P}), sendo P a inclinação da reta tangente [\mathrm{P}=\partial \mathrm{y}(\mathrm{x}) / \partial \mathrm{x}] a cada ponto do gráfico de \mathrm{y}(\mathrm{x}).
(2,0 pontos)

Passo 1

O enunciado dá a função \mathrm{y}(\mathrm{x})=\mathrm{A}\mathrm{e}^{\mathrm{B}\mathrm{x}}, com \mathrm{A} e \mathrm{B} constantes, e pede a transformada de Legendre \psi(\mathrm{P}), onde \mathrm{P} é a inclinação da reta tangente em cada ponto do gráfico, isto é \mathrm{P}=\dfrac{\partial \mathrm{y}}{\partial \mathrm{x}}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função: \mathrm{y}(\mathrm{x})=\mathrm{A}\mathrm{e}^{\mathrm{B}\mathrm{x}}.
  • A definição do parâmetro alvo: \mathrm{P}=\dfrac{d\mathrm{y}}{d\mathrm{x}}.
  • Deseja-se a transformada de Legendre \psi(\mathrm{P}), que será uma função de \mathrm{P}.
O que se pede: obter explicitamente \psi(\mathrm{P}) em termos de \mathrm{P} (e das constantes \mathrm{A} e \mathrm{B}), incluindo as condições de validade.

Passo 2

Lembrete do conceito (passo-a-passo didático): a transformada de Legendre de uma função \mathrm{y}(\mathrm{x}) é construída trocando a variável independente \mathrm{x} pela inclinação \mathrm{p} definida por \mathrm{p}=\mathrm{y}'(\mathrm{x}). A fórmula prática é
\psi(\mathrm{p})=\mathrm{x}\,\mathrm{p}-\mathrm{y}(\mathrm{x}),
onde \mathrm{x} deve ser escrita em termos de \mathrm{p} resolvendo \mathrm{p}=\mathrm{y}'(\mathrm{x}). Geometricamente, \psi(\mathrm{p}) dá o termo \mathrm{x}\mathrm{p}-\mathrm{y} associado à reta tangente de inclinação \mathrm{p}.
Vou aplicar essa definição ao caso \mathrm{y}(\mathrm{x})=\mathrm{A}\mathrm{e}^{\mathrm{B}\mathrm{x}}.

Passo 3

Calcular a derivada \dfrac{d\mathrm{y}}{d\mathrm{x}} e igualar a \mathrm{P}:
\frac{d\mathrm{y}}{d\mathrm{x}}=\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{e}^{\mathrm{B}\mathrm{x}}.
Pelo enunciado, \mathrm{P}=\dfrac{d\mathrm{y}}{d\mathrm{x}}. Logo
\mathrm{P}=\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{e}^{\mathrm{B}\mathrm{x}}.

Passo 4

Resolver a equação anterior para \mathrm{x} em função de \mathrm{P}. Primeiro isolamos a exponencial:
\mathrm{e}^{\mathrm{B}\mathrm{x}}=\frac{\mathrm{P}}{\mathrm{A}\mathrm{B}}.
Tomando logaritmo natural (e lembrando que isso exige \dfrac{\mathrm{P}}{\mathrm{A}\mathrm{B}}>0 e \mathrm{B}\neq 0), obtemos
\mathrm{x}=\frac{1}{\mathrm{B}}\ln\!\left(\frac{\mathrm{P}}{\mathrm{A}\mathrm{B}}\right).

Passo 5

Expressar \mathrm{y} em termos de \mathrm{P} (isso vai simplificar bastante). Substituindo \mathrm{e}^{\mathrm{B}\mathrm{x}}=\dfrac{\mathrm{P}}{\mathrm{A}\mathrm{B}} na expressão \mathrm{y}=\mathrm{A}\mathrm{e}^{\mathrm{B}\mathrm{x}}, tem-se
\mathrm{y}=\mathrm{A}\cdot\frac{\mathrm{P}}{\mathrm{A}\mathrm{B}}=\frac{\mathrm{P}}{\mathrm{B}}.
Observação rápida: é bonito quando a exponencial se cancela assim — facilita muito os cálculos.

Passo 6

Agora aplicamos a fórmula da transformada de Legendre \psi(\mathrm{P})=\mathrm{x}\,\mathrm{P}-\mathrm{y}, substituindo \mathrm{x} e \mathrm{y} em termos de \mathrm{P}:
\psi(\mathrm{P})=\left(\frac{1}{\mathrm{B}}\ln\!\left(\frac{\mathrm{P}}{\mathrm{A}\mathrm{B}}\right)\right)\mathrm{P}-\frac{\mathrm{P}}{\mathrm{B}}.

Passo 7

Fatorando \dfrac{\mathrm{P}}{\mathrm{B}} obtemos a forma simplificada e final:
\psi(\mathrm{P})=\frac{\mathrm{P}}{\mathrm{B}}\!\left[\ln\!\left(\frac{\mathrm{P}}{\mathrm{A}\mathrm{B}}\right)-1\right].

Passo 8

Condições de validade e verificação rápida:
  • É necessário \mathrm{B}\neq 0 (caso \mathrm{B}=0 a função \mathrm{y} é constante e a transformada não é bem definida por essa construção).
  • Também é necessário \dfrac{\mathrm{P}}{\mathrm{A}\mathrm{B}}>0 para que o logaritmo seja real (isto significa que \mathrm{P} tem o mesmo sinal de \mathrm{A}\mathrm{B}).
  • Verificação de consistência: derivando \psi(\mathrm{P}) em relação a \mathrm{P} deve retornar \mathrm{x}. De fato, calculando \dfrac{d\psi}{d\mathrm{P}}=\dfrac{1}{\mathrm{B}}\ln\!\left(\dfrac{\mathrm{P}}{\mathrm{A}\mathrm{B}}\right)=\mathrm{x}, que coincide com o \mathrm{x} obtido no Passo 4 — ótimo sinal de que está correto.
Força aí — essa forma é bem elegante e frequente para exponenciais; na prova faça os passos na ordem: derivar, resolver para x, substituir, simplificar e checar.

Resposta

\psi(\mathrm{P})=\frac{\mathrm{P}}{\mathrm{B}}\!\left[\ln\!\left(\frac{\mathrm{P}}{\mathrm{A}\mathrm{B}}\right)-1\right]
Válida para \mathrm{B}\neq 0 e \dfrac{\mathrm{P}}{\mathrm{A}\mathrm{B}}>0.

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