Conforme visto nas nossas aulas, as transformadas de Legendre desempenham um papel fundamental em termodinâmica, pois, por meio das quais, as transformadas da relação fundamental
dão origem aos famosos potenciais termodinâmicos. Considere o caso mais simples de uma relação fundamental do tipo
, onde
e
são constante, e determine a transformada de Legendre de
para obter a relação
, sendo P a inclinação da reta tangente
a cada ponto do gráfico de
.
(2,0 pontos)
(2,0 pontos)
Passo 1
O enunciado dá a função
, com
e
constantes, e pede a transformada de Legendre
, onde
é a inclinação da reta tangente em cada ponto do gráfico, isto é
.
Informações relevantes fornecidas:
- A função:
. - A definição do parâmetro alvo:
. - Deseja-se a transformada de Legendre
, que será uma função de .
O que se pede: obter explicitamente
em termos de
(e das constantes
e
), incluindo as condições de validade.
Passo 2
Lembrete do conceito (passo-a-passo didático): a transformada de Legendre de uma função
é construída trocando a variável independente
pela inclinação
definida por
. A fórmula prática é
onde
deve ser escrita em termos de
resolvendo
. Geometricamente,
dá o termo
associado à reta tangente de inclinação
.
Vou aplicar essa definição ao caso
.
Passo 3
Calcular a derivada
e igualar a
:
Pelo enunciado,
. Logo
Passo 4
Resolver a equação anterior para
em função de
. Primeiro isolamos a exponencial:
Tomando logaritmo natural (e lembrando que isso exige
e
), obtemos
Passo 5
Expressar
em termos de
(isso vai simplificar bastante). Substituindo
na expressão
, tem-se
Observação rápida: é bonito quando a exponencial se cancela assim — facilita muito os cálculos.
Passo 6
Agora aplicamos a fórmula da transformada de Legendre
, substituindo
e
em termos de
:
Passo 7
Fatorando
obtemos a forma simplificada e final:
Passo 8
Condições de validade e verificação rápida:
- É necessário
(caso a função é constante e a transformada não é bem definida por essa construção). - Também é necessário
para que o logaritmo seja real (isto significa que tem o mesmo sinal de ). - Verificação de consistência: derivando
em relação a deve retornar . De fato, calculando , que coincide com o obtido no Passo 4 — ótimo sinal de que está correto.
Força aí — essa forma é bem elegante e frequente para exponenciais; na prova faça os passos na ordem: derivar, resolver para x, substituir, simplificar e checar.
Resposta
Válida para
e
.