Determine a pressão do gás nitrogênio a T=175 \mathrm{~K} \mathrm{e} v=0,00375 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{kg} com base na equação de estado de Benedict–Webb-Rubin. Compare os resultados obtidos com o valor de 10.000 kPa determinado experimentalmente.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Temperatura: T=175\\ \mathrm{K}.
    • Volume específico: v=0,00375\\ \mathrm{m^{3}/kg}.
    • Valor experimental para comparação: 10\,000\\ \mathrm{kPa}.
  • O que o enunciado pede:
    • Determinar a pressão do nitrogênio usando a equação de estado de Benedict–Webb–Rubin (BWR) para as condições acima.
    • Comparar o resultado obtido com 10\,000\\ \mathrm{kPa}.
Observação importante: a equação BWR (e suas variantes, por exemplo a forma BWRS) exige um conjunto de parâmetros (coeficientes) específicos da substância (aqui, do nitrogênio). Esses coeficientes não foram fornecidos no enunciado.

Passo 2

Primeiro, converto o volume específico em densidade (porque a BWR usa densidade):
  • A densidade mássica é \rho = 1/v.
Cálculo:
\rho = \frac{1}{0,00375\\ \mathrm{m^{3}/kg}} = 266{,}666\ldots\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
Vou arredondar para \rho \approx 266{,}667\\ \mathrm{kg/m^{3}} quando for preciso usar valores numéricos.
Explicação didática: o volume específico v é o volume por unidade de massa; a densidade \rho é a massa por unidade de volume; portanto \rho=1/v. Esse é um passo básico que sempre tem que ser feito quando a equação de estado está escrita em termos de densidade.

Passo 3

Faço uma estimativa por comparação: pressão ideal (linha de base) usando a equação dos gases ideais em forma massica para ter uma referência numérica rápida:
  • A constante dos gases universais é R_u=8{,}314462618\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.
  • Massa molar do \mathrm{N_2}: M\approx0{,}0280134\\ \mathrm{kg/mol}.
  • A constante específica do gás é
R = \frac{R_u}{M}.
Cálculo de R:
R = \frac{8{,}314462618}{0{,}0280134}\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)} \approx 296{,}8\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
Equação dos gases ideais (em forma mássica):
P_{\text{ideal}}=\rho R T.
Substituindo os valores:
P_{\text{ideal}} \approx 266{,}667\times296{,}8\times175\\ \mathrm{Pa}.
Cálculo (passo a passo):
296{,}8\times175 = 51\,940,
266{,}667\times51\,940 \approx 13\,845\,333\\ \mathrm{Pa} = 13{,}845\\ \mathrm{kPa}.
Interpretação: a estimativa pelo gás ideal dá P_{\text{ideal}}\approx13{,}845\\ \mathrm{kPa}, que é maior que o valor experimental 10{,}000\\ \mathrm{kPa}. Isso já indica que o comportamento real do nitrogênio sob essas condições difere significativamente do ideal; a equação BWR deveria fornecer correções que aproximem a previsão do valor real.

Passo 4

Agora explico qual é a equação de Benedict–Webb–Rubin (BWR/BWRS) e o que cada termo significa — com calma, passo a passo, para você entender como usar na prova.
Uma forma comum (BWRS, forma estendida) pode ser escrita assim (forma ilustrativa, cada autor usa letras diferentes):
P(\rho,T) \;=\; \rho R T + \left(B_0 R T - A_0 - \frac{C_0}{T^2}\right)\rho^2 + \left(b R T - a\right)\rho^3 + \alpha\, a\,\rho^6 + \frac{c\,\rho^3}{T^2}\left(1+\gamma \rho^2\right)e^{-\gamma \rho^2}.
Explicando cada parte, devagar:
  • P é a pressão que queremos (unidades: Pa).
  • \rho é a densidade mássica (aqui \mathrm{kg/m^{3}}).
  • T é a temperatura (K).
  • R é a constante específica do gás (J/kg·K) — já calculada.
  • Os termos A_0,B_0,C_0,a,b,c,\alpha,\gamma são coeficientes numéricos ajustados experimentalmente para cada substância. Eles têm unidades escolhidas de modo que cada termo da soma resulte em pressão (Pa). Por exemplo, A_0 tem unidades de \mathrm{Pa\cdot (m^3/kg)^2} quando combinado com \rho^2, etc.
  • O primeiro termo \rho R T é a contribuição ideal (mesma da equação dos gases ideais). Os demais termos são correções de interação molecular de ordem crescente em \rho (densidade), além de um termo exponencial que melhora o ajuste em altas densidades.
Didática: na prova, se pedirem usar BWR, o que você faz é:
  1. Calcular \rho.
  2. Obter os coeficientes para a substância (na tabela do enunciado, no apêndice, ou em literatura).
  3. Substituir \rho, T, R e os coeficientes na fórmula acima.
  4. Somar todos os termos — o resultado é P em Pa.
Importante: a equação é explícita em P (não é implícita), então não há iteração para encontrar P quando \rho e T são conhecidos. A iteração só é necessária se a variável conhecida for pressão e for preciso encontrar \rho.

Passo 5

Mostraria agora a substituição numérica termo a termo e a soma final. Porém: os coeficientes específicos da BWR para o nitrogênio (os valores numéricos de A_0,B_0,C_0,a,b,c,\alpha,\gamma, etc.) são essenciais para esse cálculo e NÃO foram dados no enunciado.
  • Sem esses coeficientes não é possível obter o valor numérico da pressão usando a equação BWR.
  • Esses coeficientes são tabulados em livros e bases de dados (por exemplo a literatura técnica ou bases como NIST), e cada fonte pode apresentar a forma exata da equação e o conjunto correspondente de parâmetros.

Passo 6

O que você deve fazer na prova (resumindo o procedimento, para gravar na cabeça):
  1. Converter v em \rho com \rho=1/v.
  2. Calcular R=R_u/M (usar massa molar correta).
  3. Usar a forma da BWR que o professor pediu (algumas variações existem; use a exata dada no material).
  4. Substituir \rho, T, R e os coeficientes da tabela do enunciado.
  5. Calcular cada termo separadamente (faça uma tabela pequena: termo ideal, termo em \rho^2, termo em \rho^3, termo em \rho^6, termo exponencial) e somar.
  6. Converter Pa para kPa dividindo por 10^3.
  7. Comparar com 10\,000\\ \mathrm{kPa} e discutir o desvio percentual:
\text{desvio (\%)} = 100\cdot\frac{P_{\text{BWR}}-10\,000}{10\,000}.
Dica prática para a prova: mostre todos os termos calculados com unidades, pois a BWR tem muitos termos e é fácil errar sinais ou fatores.

Passo 7

Resumo numérico parcial (o que já podemos dizer sem os coeficientes):
  • Densidade calculada: \rho\approx266{,}667\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • Estimativa pelo gás ideal: P_{\text{ideal}}\approx13{,}845\\ \mathrm{kPa}.
  • Sem os coeficientes BWR para o nitrogênio, NÃO é possível calcular P_{\text{BWR}} numericamente; portanto não dá para fazer a comparação numérica final com 10\,000\\ \mathrm{kPa}.
Se você quiser, eu já tenho o procedimento pronto e, se você me der os coeficientes BWR/BWRS do nitrogênio (os que o professor forneceu ou os valores da tabela do curso), eu faço a substituição termo a termo e te retorno o valor de P e a comparação com 10\,000\\ \mathrm{kPa}. Força aí — você já tem a parte de conversões e a intuição (o ideal dá aproximadamente 13{,}8\\ \mathrm{MPa}), a BWR só precisa dos parâmetros para ajustar a previsão.

Resposta

Não é possível fornecer numericamente P pela equação de Benedict–Webb–Rubin porque faltam os coeficientes específicos da BWR para o nitrogênio; como referência, a aproximação do gás ideal dá P_{\text{ideal}}\approx13{,}845\\ \mathrm{kPa}, que difere de 10\,000\\ \mathrm{kPa}.

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