Um conjunto cilindro-pistão contém
de um gás ideal a 400 kPa ocupando inicialmente um volume de
. O gás sofre então um processo politrópico onde a relação
é constante e o volume final ocupado pelo gás é de
. Dados
e
, determine a quantidade de calor transferida durante o processo em kJ.
R.:
R.:
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que temos aqui. A gente tem um cilindro com pistão que contém 0,4 kg de um gás ideal a uma pressão inicial de 400 kPa e ocupando um volume de 0,1 m³. Esse gás passa por um processo politrópico, onde a relação $ pV^{1,3} $ se mantém constante, e o volume final é de 0,03 m³. A gente sabe também que $ R = 0,3 \ kJ/kg·K $ e $ C_v0 = 0,7 \ kJ/kg·K $. Nosso objetivo aqui é descobrir quanta quantidade de calor foi transferida durante esse processo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um processo politrópico. É um processo no qual a pressão e o volume do gás seguem a relação $ pV^n = constante $, onde $ n $ é o índice politrópico. No nosso caso, $ n = 1,3 $. Isso vai nos ajudar a relacionar as condições iniciais e finais do gás.
Passo 3
Vamos usar a relação politrópica para encontrar a pressão final $ p_2 $. Sabemos que:
Substituindo os valores:
Vamos calcular isso pra achar $ p_2 $.
Passo 4
Agora que temos as pressões inicial e final, vamos calcular as temperaturas inicial $ T_1 $ e final $ T_2 $ usando a equação de estado do gás ideal:
Rearranjando para $ T $:
Vamos calcular $ T_1 $ e $ T_2 $ com os valores que já temos.
Passo 5
Com as temperaturas, podemos calcular a variação da energia interna $ \Delta U $. Sabemos que:
Isso nos dá a mudança na energia interna do gás durante o processo.
Passo 6
Também precisamos calcular o trabalho $ W $ realizado durante o processo politrópico. A fórmula para o trabalho em um processo politrópico é:
Vamos usar os valores que já temos para achar $ W $.
Passo 7
Por fim, vamos aplicar a primeira lei da termodinâmica, que é:
Com $ \Delta U $ e $ W $ calculados, podemos encontrar o calor $ Q $ transferido durante o processo.
Resposta
A quantidade de calor transferida durante o processo é de aproximadamente -17,40 kJ.