Um conjunto cilindro-pistão contém 2,5 \mathrm{~kg} de água a 10 MPa e 100^{\circ} \mathrm{C}. Calor é transferido, de um reservatório térmico que está a 1100^{\circ} \mathrm{C}, para a água até que sua temperatura atinja 900^{\circ} \mathrm{C}. Admitindo que o processo seja isobárico, determine o trabalho realizado, a transferência de calor e geração de entropia provocada pelo processo, além disso calcule a irreversibilidade no processo. ( \mathbf{3 , 0} pontos; 4,0 pontos)

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar ponto a ponto, sem resolver ainda):
  • Dados fornecidos:
    • Massa: m = \(2,5\\ \mathrm{kg}).
    • Pressão constante do processo: p = \(10\\ \mathrm{MPa}).
    • Estado inicial: T_1 = \(100^\circ\mathrm{C} = 373{,}15\\ \mathrm{K}).
    • Estado final: T_2 = \(900^\circ\mathrm{C} = 1173{,}15\\ \mathrm{K}).
    • Reservatório térmico fornece calor a T_{res} = \(1100^\circ\mathrm{C} = 1373{,}15\\ \mathrm{K}).
    • O processo é isobárico (ou seja, p constante durante todo o aquecimento).
  • O que o exercício pede:
    1. Trabalho realizado pelo processo (trabalho de fronteira).
    2. Transferência de calor Q recebida pela água.
    3. Geração de entropia S_{\mathrm{ger}} produzida pelo processo.
    4. Irreversibilidade do processo (perda de trabalho associada à irreversibilidade).
Observação importante: não foi dada uma tabela detalhada de propriedades da água. Para obter propriedades (entalpia, entropia, temperatura de saturação em 10\\ \mathrm{MPa}, etc.) é necessário usar tabelas/softwares. Vou explicar as aproximações usadas e os valores retirados/estimados de tabelas padrão quando necessário — isso será explicitado passo a passo.

Passo 2

Plano de solução e hipóteses / aproximações (muito importante):
  • Como o processo é isobárico e o fluido começa como líquido comprimido a 100^\circ\mathrm{C} e termina a 900^\circ\mathrm{C}, a trajetória em p= const passa pelos seguintes estágios:
    1. Aquecimento do líquido comprimido de 100^\circ\mathrm{C} até a temperatura de saturação correspondente a p=10\\ \mathrm{MPa} ( T_{sat}).
    2. Vaporização (se houver massa suficiente) na T_{sat} a p=10\\ \mathrm{MPa}.
    3. Superaquecimento do vapor até 900^\circ\mathrm{C}.
  • Fórmulas físicas que vamos usar e suas explicações (aula curta e direta):
    • Trabalho de fronteira em processo isobárico (sistema fechado): W = \int_{V_1}^{V_2} p\,dV = p\,(V_2-V_1) = m\,p\,(v_2-v_1).Aqui V é o volume total, v é o volume específico ( \mathrm{m}^3/\mathrm{kg}), p deve estar em unidades que combinem com \mathrm{kJ} (uso p em \mathrm{kPa} e V em \mathrm{m}^3 porque 1\\ \mathrm{kPa}\cdot\mathrm{m}^3 = 1\\ \mathrm{kJ}).
    • Primeira lei (sistema fechado, só trabalho de fronteira): Q - W = \Delta U.Para processo isobárico vale também \Delta H = \Delta U + \Delta(pV) = \Delta U + p\Delta V. Portanto, quando p é constante temos Q = \Delta H = m\,(h_2-h_1).Isso simplifica muito: em processo à pressão constante, o calor trocado é a variação de entalpia do sistema. Aqui h é entalpia específica ( \mathrm{kJ/kg}).
    • Entropia do sistema: para mudança de estado, \Delta S_{\mathrm{sistema}} = m\,(s_2-s_1), onde s é entropia específica ( \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}).
    • Geração de entropia (segunda lei, reservatório a temperatura constante): S_{\mathrm{ger}} = \Delta S_{\mathrm{sistema}} - \frac{Q}{T_{res}}.Sinal e unidades: S_{\mathrm{ger}} em \mathrm{kJ/K}. Deve ser \ge 0.
    • Irreversibilidade (perda de trabalho exergética) geralmente é calculada como: I = T_0\,S_{\mathrm{ger}},onde T_0 é a temperatura de referência (temperatura ambiente / meio ambiente). O enunciado não dá T_0, então vou assumir T_0 = \(25^\circ\mathrm{C}= 298{,}15\\ \mathrm{K}) (valor convencional). Vou explicar que essa escolha é uma hipótese; se o professor exigir outra T_0, basta multiplicar S_{\mathrm{ger}} por essa T_0.
  • Propriedades e aproximações numéricas que vou usar (e por que):
    • Estado inicial: o fluido a 10\\ \mathrm{MPa} e 100^\circ\mathrm{C} é líquido comprimido. Para líquidos comprimidos é prática comum aproximar as propriedades por aquelas do líquido saturado à mesma temperatura (diferença é pequena). Portanto uso:
      • h_1 \approx h_f(100^\circ\mathrm{C}) = \(419{,}04\\ \mathrm{kJ/kg}) (valor padrão de tabela).
      • s_1 \approx s_f(100^\circ\mathrm{C}) = \(1{,}307\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}) (valor padrão).
    • Temperatura de saturação em p=10\\ \mathrm{MPa}: usando tabelas de vapor, \;T_{sat}(10\\ \mathrm{MPa}) \approx \(311{,}03^\circ\mathrm{C} = 584{,}18\\ \mathrm{K}).
    • Para aquecer o líquido do estado inicial até T_{sat} vou aproximar o calor sensível com c_{p,\ell} \approx \(4{,}2\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}) (valor médio do líquido água).
    • A entalpia na vaporização a p=10\\ \mathrm{MPa} eu aproximo usando um valor razoável de calor latente h_{fg}(10\\ \mathrm{MPa}) \approx \(1500\\ \mathrm{kJ/kg}) (valor aproximado de tabela; o valor real fica perto disso). Assim h_g(T_{sat}) \approx h_f(T_{sat}) + h_{fg}.
    • Para o vapor superaquecido (de T_{sat} até 900^\circ\mathrm{C}) uso c_{p,vapor} aproximado constante c_{p,v}\approx \(2{,}2\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}) — valor médio razoável para vapor nessa faixa de temperatura.
    • Para o volume específico do vapor em T_2 e p fixo, uso aproximação de gás ideal: v_2 \approx \dfrac{R\,T_2}{p} com R_{\mathrm{água}} = \(0{,}4615\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}). Essa é boa quando o vapor está longe da região crítica; aqui T_2 é bem maior que T_{sat} então é aceitável.
    • Para o volume específico do líquido v_1 uso v_1 \approx 0{,}001\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg} (valor típico para água líquida).
Essas aproximações tornam possível resolver a questão sem software termo. Se fosse necessária alta precisão, o caminho correto seria obter de tabelas IAPWS/steam tables os valores exatos de h e s nos estados inicial e final.

Passo 3

Cálculos das propriedades estado-a-estado (aplicando as aproximações acima) — entalpias e entropias específicas:
  1. Dados de referência usados explicitamente:
    • h_1 \approx 419{,}04\\ \mathrm{kJ/kg} (saturado líquido a 100^\circ\mathrm{C}, aproximação para líquido comprimido).
    • s_1 \approx 1{,}307\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
    • T_{sat}(10\\ \mathrm{MPa}) \approx 311{,}03^\circ\mathrm{C} = 584{,}18\\ \mathrm{K} (valor de tabela).
    • c_{p,\ell} = 4{,}2\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} (aprox. líquido).
    • h_{fg}(10\\ \mathrm{MPa}) \approx 1500\\ \mathrm{kJ/kg} (aprox. de tabela).
    • c_{p,v} = 2{,}2\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} (aprox. vapor).
    • R = 0{,}4615\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
    • p = 10\\ \mathrm{MPa} = 10000\\ \mathrm{kPa}.
  2. Aquecimento do líquido de T_1 até T_{sat}:
    • Variação de entalpia sensível (líquido): \Delta h_{\ell} = c_{p,\ell}\,(T_{sat}-T_1).Substituindo: \Delta h_{\ell} = 4{,}2\,(584{,}18-373{,}15) = 4{,}2\cdot211{,}03 = 886{,}326\\ \mathrm{kJ/kg}.
    • Entalpia na condição saturada líquida (antes da vaporização): h_{f,sat} \approx h_1 + \Delta h_{\ell} = 419{,}04 + 886{,}326 = 1305{,}366\\ \mathrm{kJ/kg}.
  3. Vaporização a T_{sat} (a p=10\\ \mathrm{MPa}):
    • Usando h_{fg}\approx 1500\\ \mathrm{kJ/kg}, a entalpia do vapor saturado a T_{sat} fica h_{g,sat} \approx h_{f,sat} + h_{fg} = 1305{,}366 + 1500 = 2805{,}366\\ \mathrm{kJ/kg}.
  4. Superaquecimento do vapor de T_{sat} até T_2 = 900^\circ\mathrm{C}:
    • \Delta h_{\text{super}} = c_{p,v}\,(T_2 - T_{sat}). \Delta h_{\text{super}} = 2{,}2\,(1173{,}15 - 584{,}18) = 2{,}2\cdot588{,}97 = 1295{,}734\\ \mathrm{kJ/kg}.
    • Entalpia final (estado 2): h_2 = h_{g,sat} + \Delta h_{\text{super}} = 2805{,}366 + 1295{,}734 = 4101{,}100\\ \mathrm{kJ/kg}.
  5. Entalpia inicial h_1 lembrando: h_1 \approx 419{,}04\\ \mathrm{kJ/kg}.
  6. Cálculo do calor trocado (por unidade de massa e total):
    • Calor específico trocado: \Delta h = h_2 - h_1 = 4101{,}100 - 419{,}04 = 3682{,}060\\ \mathrm{kJ/kg}.
    • Calor total: Q = m\,(h_2-h_1) = 2{,}5\cdot 3682{,}060 = 9205{,}150\\ \mathrm{kJ}.

Passo 4

Cálculo do trabalho W (trabalho de fronteira) usando volumes específicos:
  1. Volume específico inicial do líquido (aprox.):
    • v_1 \approx 0{,}001\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg} (valor típico para água líquida compressa).
  2. Volume específico final do vapor em p=10\\ \mathrm{MPa}, T_2=1173{,}15\\ \mathrm{K}, usando aproximação de gás ideal:
    • Fórmula: v_2 \approx \dfrac{R\,T_2}{p}.
    • Substituindo (atenção às unidades: R em \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}, p em \mathrm{kPa}): v_2 = \frac{0{,}4615\cdot 1173{,}15}{10000} = \frac{541{,}7087}{10000} = 0{,}0541709\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg}.
  3. Diferença de volume específico:
    \Delta v = v_2 - v_1 = 0{,}0541709 - 0{,}001 = 0{,}0531709\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg}.
  4. Trabalho total:
    • W = m\,p\,\Delta v onde p em \mathrm{kPa} e \Delta v em \mathrm{m}^3/\mathrm{kg} W em \mathrm{kJ}. W = 2{,}5 \cdot 10000 \cdot 0{,}0531709 = 10000\cdot(2{,}5\cdot 0{,}0531709).Primeiro 2{,}5\cdot 0{,}0531709 = 0{,}13292725\\ \mathrm{m}^3.
      Então W = 10000\cdot 0{,}13292725 = 1329{,}2725\\ \mathrm{kJ}.
    • Arredondando: W \approx 1329{,}27\\ \mathrm{kJ}.

Passo 5

Cálculo da variação de entropia do sistema \Delta S_{\mathrm{sistema}}:
Vamos decompor a variação de entropia nos mesmos trechos usados para entalpia:
  1. Aquecimento do líquido de T_1 até T_{sat}:
    • Aproximação (cp constante para líquido): \Delta s_{\ell} = c_{p,\ell}\,\ln\!\left(\frac{T_{sat}}{T_1}\right).Substituindo: \Delta s_{\ell} = 4{,}2\cdot \ln\!\left(\frac{584{,}18}{373{,}15}\right) = 4{,}2\cdot \ln(1{,}5656) = 4{,}2\cdot 0{,}4479 = 1{,}8812\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
    • Entropia na condição saturada líquida: s_{f,sat} = s_1 + \Delta s_{\ell} = 1{,}307 + 1{,}8812 = 3{,}1882\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
  2. Vaporização a T_{sat}:
    • A variação de entropia ao vaporizar é \Delta s_{vap} = \dfrac{h_{fg}}{T_{sat}}. \Delta s_{vap} = \frac{1500}{584{,}18} = 2{,}5678\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
    • Entropia após vaporização: s_{g,sat} = s_{f,sat} + \Delta s_{vap} = 3{,}1882 + 2{,}5678 = 5{,}7560\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
  3. Superaquecimento de T_{sat} até T_2:
    • Aproximação (cp vapor constante): \Delta s_{\text{super}} = c_{p,v}\,\ln\!\left(\frac{T_2}{T_{sat}}\right).Substituindo: \Delta s_{\text{super}} = 2{,}2\cdot \ln\!\left(\frac{1173{,}15}{584{,}18}\right) = 2{,}2\cdot \ln(2{,}008) = 2{,}2\cdot 0{,}6967 = 1{,}5334\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
    • Entropia final s_2: s_2 = s_{g,sat} + \Delta s_{\text{super}} = 5{,}7560 + 1{,}5334 = 7{,}2894\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
  4. Variação específica de entropia total:
    s_2 - s_1 = 7{,}2894 - 1{,}307 = 5{,}9824\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
    Variação total do sistema:
    \Delta S_{\mathrm{sistema}} = m\,(s_2 - s_1) = 2{,}5\cdot 5{,}9824 = 14{,}956\\ \mathrm{kJ/K}.

Passo 6

Cálculo da geração de entropia S_{\mathrm{ger}} e verificação da segunda lei:
  • Já temos \Delta S_{\mathrm{sistema}} = 14{,}956\\ \mathrm{kJ/K}.
  • Calor trocado Q = 9205{,}150\\ \mathrm{kJ}.
  • Temperatura do reservatório T_{res} = 1373{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Assim: S_{\mathrm{ger}} = \Delta S_{\mathrm{sistema}} - \frac{Q}{T_{res}} = 14{,}956 - \frac{9205{,}150}{1373{,}15}.Calcule \dfrac{Q}{T_{res}}: \frac{9205{,}150}{1373{,}15} = 6{,}703\\ \mathrm{kJ/K}\\ (\text{aprox.}).Portanto S_{\mathrm{ger}} = 14{,}956 - 6{,}703 = 8{,}253\\ \mathrm{kJ/K}.
  • Observação: S_{\mathrm{ger}}>0 como esperado (irreversibilidade presente).

Passo 7

Cálculo da irreversibilidade I (perda de trabalho) usando T_0 = 25^\circ\mathrm{C} = 298{,}15\\ \mathrm{K} (hipótese padrão):
  • Fórmula: I = T_0\,S_{\mathrm{ger}}.
  • Substituindo: I = 298{,}15 \cdot 8{,}253 = 2461{,}3\\ \mathrm{kJ}\\ (\text{aprox.}).
Comentário: se outro T_0 for exigido, basta multiplicar 8{,}253\\ \mathrm{kJ/K} por esse T_0 (em K).

Passo 8

Resumo numérico (arredondado com sentido físico):
  • Trabalho realizado pelo gás (trabalho de fronteira): W \approx 1329{,}27\\ \mathrm{kJ}.
  • Transferência de calor recebida pela água: Q \approx 9205{,}15\\ \mathrm{kJ}.
  • Geração de entropia durante o processo: S_{\mathrm{ger}} \approx 8{,}253\\ \mathrm{kJ/K}.
  • Irreversibilidade (perda de trabalho) assumindo T_0 = 298{,}15\\ \mathrm{K}: I \approx 2461{,}3\\ \mathrm{kJ}.
Observações finais (didáticas e motivacionais):
  • Expliquei passo a passo como decompor o aquecimento em aquecimento do líquido, vaporização e superaquecimento — essa é a forma prática de resolver uma troca de calor com mudança de fase a pressão fixa.
  • Os pontos que mais usualmente geram dúvida em prova: (i) lembrar que em processo isobárico para sistema fechado o calor é \Delta H; (ii) cuidado com unidades (usar p em \mathrm{kPa} quando multiplicar por \mathrm{m}^3 para obter \mathrm{kJ}); (iii) geração de entropia é sempre \Delta S_{sistema} - Q/T_{res}.
  • As aproximações (valores de c_p constantes, h_{fg} aproximado, gás ideal para vapor) foram explicitadas; se precisar de maior precisão, pede-se o uso de steam tables / IAPWS ou software (EES, REFPROP). Força aí — você já tem a estratégia completa para a prova!

Resposta

W \approx 1329{,}27\\ \mathrm{kJ}
Q \approx 9205{,}15\\ \mathrm{kJ}
S_{\mathrm{ger}} \approx 8{,}253\\ \mathrm{kJ/K}
I = T_0 S_{\mathrm{ger}} \approx 2461{,}3\\ \mathrm{kJ} (assumindo T_0 = 298{,}15\\ \mathrm{K})

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