Um Pesquisador da UFPB afirma ter desenvolvido uma máquina térmica que é capaz de produzir 12 kW de potência líquida quando recebe 20 kW de um reservatório térmico a 800^{\circ} \mathrm{C} e rejeita o calor no ambiente a 15^{\circ} \mathrm{C}. Baseado nessa afirmação, é possível que o pesquisador tenha de fato conseguido desenvolver essa máquina? E qual seria a máxima potência líquida que ele poderia extrair desta máquina? Explique! ( \mathbf{2 , 0} pontos; 1,0 ponto )

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
Dados fornecidos:
  • Potência térmica recebida: \dot{Q}_{\text{in}}=20\\ \mathrm{kW} (do reservatório quente).
  • Potência líquida declarada: \dot{W}_{\text{claimed}}=12\\ \mathrm{kW}.
  • Temperatura do reservatório quente: T_H^{\circ}=800^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura do reservatório frio (ambiente): T_C^{\circ}=15^\circ\mathrm{C}.
Perguntas do enunciado:
  1. É possível, do ponto de vista termodinâmico, que a máquina produza \dot{W}_{\text{claimed}}=12\\ \mathrm{kW} recebendo 20\\ \mathrm{kW} das temperaturas dadas?
  2. Qual é a máxima potência líquida que seria possível extrair dessa máquina (com 20\\ \mathrm{kW} de entrada e esses reservatórios)?

Passo 2

Princípio/fórmula que vamos usar (explicação didática): a segunda lei da termodinâmica impõe um limite superior à eficiência de qualquer máquina térmica que opera entre dois reservatórios em temperaturas fixas. A máquina reversível ideal que atinge esse limite é a máquina de Carnot. A eficiência máxima possível (eficiência de Carnot) é dada por:
\eta_{\text{Carnot}} = 1 - \frac{T_C}{T_H},
onde:
  • \eta_{\text{Carnot}} é a eficiência (fração do calor de entrada que pode virar trabalho) máxima possível,
  • T_H é a temperatura do reservatório quente em kelvin,
  • T_C é a temperatura do reservatório frio em kelvin.
Observação importante sobre temperaturas: as temperaturas devem estar em kelvin ( \mathrm{K}), porque a fórmula usa a razão entre temperaturas absolutas. Para converter de graus Celsius para kelvin usa-se:
T(\mathrm{K}) = T(^{\circ}\mathrm{C}) + 273{,}15.

Passo 3

Converter as temperaturas dadas para kelvin (vou mostrar as contas passo a passo):
T_H = 800 + 273{,}15 = 1073{,}15\\ \mathrm{K},
T_C = 15 + 273{,}15 = 288{,}15\\ \mathrm{K}.
Agora calculo a eficiência de Carnot:
\eta_{\text{Carnot}} = 1 - \frac{T_C}{T_H} = 1 - \frac{288{,}15}{1073{,}15}.
Faço a divisão aproximada:
\frac{288{,}15}{1073{,}15} \approx 0{,}2685,
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\eta_{\text{Carnot}} \approx 1 - 0{,}2685 = 0{,}7315 \quad\text{(ou seja, }73{,}15\%\text{)}.

Passo 4

Comparar a eficiência declarada com o limite de Carnot e verificar consistência:
A eficiência que o pesquisador alega é
\eta_{\text{claimed}} = \frac{\dot{W}_{\text{claimed}}}{\dot{Q}_{\text{in}}} = \frac{12}{20} = 0{,}6 \quad\text{(ou seja, }60\%\text{)}.
Como \eta_{\text{claimed}}=0{,}6 é menor que \eta_{\text{Carnot}}\approx0{,}7315, a alegação não viola o limite de Carnot. Ou seja, do ponto de vista da segunda lei da termodinâmica, não há proibição: é termodinamicamente possível obter 12\\ \mathrm{kW} com essas temperaturas e esse fluxo de calor.
Uma verificação alternativa (pela rejeição de calor): o calor rejeitado anunciado seria
\dot{Q}_{\text{out, claimed}} = \dot{Q}_{\text{in}} - \dot{W}_{\text{claimed}} = 20 - 12 = 8\\ \mathrm{kW}.
O menor calor rejeitado possível para um processo reversível (Carnot) seria
\dot{Q}_{\text{out,min}} = \dot{Q}_{\text{in}}\frac{T_C}{T_H} = 20 \cdot \frac{288{,}15}{1073{,}15} \approx 20 \cdot 0{,}2685 \approx 5{,}37\\ \mathrm{kW}.
Como 8\\ \mathrm{kW} > 5{,}37\\ \mathrm{kW}, não há contradição: o valor alegado rejeita mais calor que o mínimo reversível, o que é perfeitamente aceitável para uma máquina irreversível na prática.

Passo 5

Calcular a máxima potência líquida possível (usando a eficiência de Carnot):
A potência máxima que se pode extrair com \dot{Q}_{\text{in}}=20\\ \mathrm{kW} é
\dot{W}_{\text{max}} = \eta_{\text{Carnot}}\cdot \dot{Q}_{\text{in}} \approx 0{,}7315 \times 20\\ \mathrm{kW}.
Calculando:
\dot{W}_{\text{max}} \approx 14{,}63\\ \mathrm{kW}.
Portanto nenhuma máquina operando entre esses dois reservatórios pode produzir mais do que cerca de 14{,}63\\ \mathrm{kW} a partir de 20\\ \mathrm{kW} de calor recebido.

Passo 6

Conclusão clara e amigável: a afirmação do pesquisador não viola a segunda lei — produzir 12\\ \mathrm{kW} com 20\\ \mathrm{kW} de entrada entre 800^\circ\mathrm{C} e 15^\circ\mathrm{C} é termodinamicamente possível porque a eficiência requerida ( 60\%) é menor que a eficiência máxima de Carnot ( \approx73{,}15\%). No entanto, o limite absoluto é cerca de 14{,}63\\ \mathrm{kW}; o pesquisador não poderia produzir mais do que isso sem violar a termodinâmica.

Resposta

Sim.
\dot{W}_{\text{max}}\approx14{,}63\\ \mathrm{kW}

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