Um fluxo de 0,728 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} de água entra numa turbina a 3,0 \mathrm{MPa} e 450^{\circ} \mathrm{C} e é expandido até atingir a linha de vapor saturado à pressão de 10 kPa . Nestas condições, qual é a potência desenvolvida pela turbina, a eficiência isoentrópica e a taxa de geração de entropia? Bem como, a eficiência pela segunda lei e a taxa de irreversibilidade. Considere que a turbina dissipa 12 kW de calor para o meio a \mathbf{T}_{0}=27^{\circ} \mathrm{C}(3,0 pontos; 5,0 pontos)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
Dados do enunciado:
  • Vazão mássica: \dot{m}=0{,}728\\ \mathrm{kg/s}.
  • Estado de entrada (1): P_1=3{,}0\\ \mathrm{MPa}, T_1=450^\circ\mathrm{C}.
  • Estado de saída (2): atinge a linha de vapor saturado à pressão P_2=10\\ \mathrm{kPa} (ou seja, saída é vapor saturado a P_2).
  • A turbina dissipa calor para o meio: \dot{Q}=-12\\ \mathrm{kW} (negativo porque é calor perdido pelo fluido/turbina para o ambiente).
  • Temperatura ambiente (referência): T_0=27^\circ\mathrm{C}=300\\ \mathrm{K}.
O enunciado pede:
  1. A potência desenvolvida pela turbina (potência de eixo, \dot{W} ).
  2. A eficiência isoentrópica (eficiência de rendimento da turbina, \eta_{\text{isent}} ).
  3. A taxa de geração de entropia ( \dot{S}_{\text{gen}} ).
  4. A eficiência pela segunda lei (eficiência exergética / eficiência da 2ª lei, \eta_{\text{II}} ) e
  5. A taxa de irreversibilidade (exergia destruída), \dot{I}.
Observações importantes (não resolvo nada aqui, só organizando):
  • Vou usar as tabelas de vapor (propriedades de água/vapor) para obter entalpia e entropia nos estados referidos.
  • Vou desprezar variações de energia cinética e potencial (comum em problemas de turbina salvo indicação contrária).
  • Todas as fórmulas usadas serão explicadas quando surgirem nos passos seguintes.

Passo 2

Pegar valores das tabelas de vapor (valores retirados de tabelas convencionais de vapor d’água). Vou listar os valores adotados e explicar o porquê:
Valores adotados (peguei das tabelas de vapor para as condições indicadas):
  • No estado 1 (entrada): P_1=3{,}0\\ \mathrm{MPa}, T_1=450^\circ\mathrm{C}.
    • h_1 = 3278{,}1\\ \mathrm{kJ/kg}.
    • s_1 = 6{,}611\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
  • No estado 2 (saída): vapor saturado a P_2=10\\ \mathrm{kPa} (saturado vapor).
    • h_2 = h_g(P_2) = 2584{,}7\\ \mathrm{kJ/kg}.
    • s_2 = s_g(P_2) = 8{,}1503\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
  • Também extraio valores de saturado em P_2 para usar em expansão isentrópica:
    • h_f(P_2)=191{,}81\\ \mathrm{kJ/kg}.
    • h_{fg}(P_2)=2392{,}89\\ \mathrm{kJ/kg} (portanto h_g=h_f+h_{fg}).
    • s_f(P_2)=0{,}6492\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
    • s_{fg}(P_2)=7{,}5011\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} (portanto s_g=s_f+s_{fg}).
Comentário didático rápido sobre esses números:
  • h é entalpia específica (energia por unidade de massa associada ao fluxo de entalpia).
  • s é entropia específica.
  • Como a saída é declarada ser “linha de vapor saturado” a P_2, isso significa que o fluido sai exatamente na condição de vapor saturado (qualidade x=1), então usamos h_2=h_g e s_2=s_g.

Passo 3

Energia (Primeira Lei) para o controle de volume em regime permanente (turbina) — explicando a fórmula.
Para uma turbina em regime permanente, desprezando variações de energia cinética e potencial:
\dot{W} = \dot{m}\,(h_1-h_2) + \dot{Q},
onde
  • \dot{W} é a potência de eixo (kW) produzida pela turbina;
  • \dot{m} é vazão mássica (kg/s);
  • h_1,\\ h_2 são entalpias específicas nos estados 1 e 2 (kJ/kg);
  • \dot{Q} é a taxa líquida de calor transferida para o controle (kW). No enunciado a turbina “dissipa 12 kW de calor para o meio”, então \dot{Q}=-12\\ \mathrm{kW} (negativo: calor sai do sistema).
Cálculo explícito da potência:
Primeiro calcule o termo de energia por fluxo:
\dot{m}(h_1-h_2)=0{,}728\cdot(3278{,}1-2584{,}7)\\ \mathrm{kW}.
Calculo interno:
h_1-h_2 = 3278{,}1-2584{,}7 = 693{,}4\\ \mathrm{kJ/kg}.
\dot{m}(h_1-h_2)=0{,}728\cdot 693{,}4 = 504{,}59\\ \mathrm{kW}.
Agora incluir \dot{Q}=-12\\ \mathrm{kW}:
\dot{W} = 504{,}59 - 12 = 492{,}59\\ \mathrm{kW}.
Interpretação: \dot{W}=492{,}6\\ \mathrm{kW} é a potência de eixo efetivamente desenvolvida pela turbina, já levando em conta a perda de calor de 12 kW.

Passo 4

Cálculo da eficiência isoentrópica ( \eta_{\text{isent}}) — explicando o conceito e a fórmula.
Definição didática:
  • A eficiência isoentrópica mede quanto do trabalho máximo (obtido por uma expansão reversível e adiabática entre os mesmos pontos de pressão) é realmente convertido em trabalho útil pela turbina real.
  • Fórmula:
\eta_{\text{isent}} = \frac{\dot{W}_{\text{real}}}{\dot{W}_{\text{isent}}}
onde \dot{W}_{\text{isent}}=\dot{m}(h_1-h_{2s}) e h_{2s} é a entalpia no estado final se a expansão fosse isoentrópica (s =const) até P_2.
Primeiro calcule h_{2s} (estado isoentrópico a P_2):
  • Para expansão isoentrópica: s_{2s}=s_1.
  • Em P_2=10\\ \mathrm{kPa} temos tabela saturada: s_f e s_{fg}. Como s_1 está entre s_f e s_g, o ponto isoentrópico fica na região bifásica com qualidade x_s tal que
x_s=\frac{s_1-s_f}{s_{fg}}.
Substituindo:
x_s = \frac{6{,}611-0{,}6492}{7{,}5011} = \frac{5{,}9618}{7{,}5011} = 0{,}7950\\ (\text{adimensional}).
Então
h_{2s} = h_f + x_s\,h_{fg} = 191{,}81 + 0{,}7950\cdot 2392{,}89 = 2094{,}02\\ \mathrm{kJ/kg}.
Agora o trabalho isoentrópico por unidade de tempo:
\dot{W}_{\text{isent}} = \dot{m}(h_1-h_{2s}) = 0{,}728\cdot(3278{,}1-2094{,}02) =0{,}728\cdot 1184{,}08 = 861{,}97\\ \mathrm{kW}.
Logo a eficiência isoentrópica:
\eta_{\text{isent}} = \frac{\dot{W}}{\dot{W}_{\text{isent}}} = \frac{492{,}59}{861{,}97} = 0{,}5714 \approx 57{,}14\%.
Breve interpretação: a turbina real entrega cerca de 57{,}1\% do trabalho que seria obtido numa expansão isoentrópica perfeita entre os mesmos estados de entrada e pressão final.

Passo 5

Cálculo da taxa de geração de entropia ( \dot{S}_{\text{gen}}) — explicando a equação de balanço de entropia.
Balanço de entropia em regime permanente para o CV da turbina (desprezando transporte por massa de calor além do que já consideramos, e desprezando variações cinéticas/potenciais):
\dot{S}_{\text{gen}} = \dot{m}(s_2-s_1) - \sum_k \frac{\dot{Q}_k}{T_k}.
Aqui há apenas uma troca de calor relevante: \dot{Q}=-12\\ \mathrm{kW} e essa troca ocorre com o meio a T_0=300\\ \mathrm{K}, então o termo de calor dividido por temperatura é \dot{Q}/T_0.
Substituindo:
\dot{m}(s_2-s_1)=0{,}728\cdot(8{,}1503-6{,}611)=0{,}728\cdot 1{,}5393 = 1{,}1199\\ \mathrm{kW/K}.
\frac{\dot{Q}}{T_0}=\frac{-12}{300}=-0{,}04\\ \mathrm{kW/K}.
Portanto
\dot{S}_{\text{gen}} = 1{,}1199 - (-0{,}04) = 1{,}1599\\ \mathrm{kW/K}.
Arredondando de forma prática: \dot{S}_{\text{gen}} = 1{,}160\\ \mathrm{kW/K} (ou 1{,}160\\ \mathrm{kJ/(s\cdot K)}).
Comentário físico: \dot{S}_{\text{gen}}>0 como esperado — é a produção irreversível de entropia dentro da turbina (atrito, mistura, etc.) mais o efeito do calor dissipado.

Passo 6

Cálculo da eficiência pela segunda lei ( \eta_{\text{II}}) e da taxa de irreversibilidade ( \dot{I}) — explicando o significado e as fórmulas.
Definição adotada (mais comum para máquinas que convertem energia de fluxo em trabalho): eficiência exergética (2ª lei) definida como a razão entre o trabalho real produzido e o máximo trabalho reversível disponível pelos fluxos entre os mesmos estados 1 e 2. A expressão por unidade de massa para a disponibilidade (exergia de fluxo) entre 1 e 2 é:
\Delta \psi = (h_1-h_2) - T_0(s_1-s_2).
Portanto o máximo trabalho reversível por unidade de tempo seria \dot{m}\,\Delta\psi. Assim
\eta_{\text{II}} = \frac{\dot{W}}{\dot{m}\,\Delta\psi}.
Calcule \Delta\psi (kJ/kg):
h_1-h_2 = 693{,}4\\ \mathrm{kJ/kg},
s_1-s_2 = 6{,}611-8{,}1503 = -1{,}5393\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)},
T_0(s_1-s_2) = 300\cdot(-1{,}5393) = -461{,}79\\ \mathrm{kJ/kg}.
\Delta\psi = 693{,}4 - (-461{,}79) = 1155{,}19\\ \mathrm{kJ/kg}.
Potência máxima reversível:
\dot{m}\,\Delta\psi = 0{,}728\cdot 1155{,}19 = 841{,}47\\ \mathrm{kW}.
Agora a eficiência exergética:
\eta_{\text{II}} = \frac{492{,}59}{841{,}47} = 0{,}5852 \approx 58{,}52\%.
Taxa de irreversibilidade (exergia destruída) relaciona-se diretamente com a geração de entropia:
\dot{I} = T_0\,\dot{S}_{\text{gen}}.
Substituindo os valores:
\dot{I} = 300\cdot 1{,}1599 = 347{,}97\\ \mathrm{kW}.
Arredondado: \dot{I}=348{,}0\\ \mathrm{kW}.
Interpretação: dos \approx 841{,}5\\ \mathrm{kW} de exergia disponível para conversão entre os estados, \approx 492{,}6\\ \mathrm{kW} foram realmente obtidos como trabalho, enquanto \approx 348{,}0\\ \mathrm{kW} foram destruídos por irreversibilidades (calor perdido + produção interna de entropia).

Resposta

Potência desenvolvida pela turbina: 492{,}59\\ \mathrm{kW}
Eficiência isoentrópica: \eta_{\text{isent}} = 0{,}5714 \approx 57{,}14\%
Taxa de geração de entropia: \dot{S}_{\text{gen}} = 1{,}1599\\ \mathrm{kW/K}
Eficiência pela segunda lei (exergética): \eta_{\text{II}} = 0{,}5852 \approx 58{,}52\%
Taxa de irreversibilidade (exergia destruída): \dot{I} = 347{,}97\\ \mathrm{kW}

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