A conservação de energia na forma integral para um escoamento estacionário e adiabático sem trabalho de eixo desprezando efeitos viscosos, ao longo de um alinha de corrente se reduz à:
a) Equação da continuidade
b) Equação de Bernoulli
c) Segunda lei da termodinâmica
d) Equação da energia interna

Passo 1

O enunciado pergunta qual equação resulta da conservação de energia, na forma integral, para um escoamento que satisfaz as seguintes condições: escoamento estacionário (estacionário), adiabático (sem troca de calor), sem trabalho de eixo (sem trabalho de máquina/shaft) e desprezando efeitos viscosos (inviscid), e que a relação deve ser válida ao longo de uma linha de corrente. As alternativas são:
a) Equação da continuidade
b) Equação de Bernoulli
c) Segunda lei da termodinâmica
d) Equação da energia interna
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • Escoamento estacionário: as propriedades do escoamento não dependem do tempo.
  • Adiabático: não há transferência de calor ( dq=0).
  • Sem trabalho de eixo: não há trabalho de máquinas aplicado ao fluido.
  • Despreza efeitos viscosos: sem dissipação por atrito interno (escoamento ideal/inviscid).
  • Interesse ao longo de uma linha de corrente (ou streamline).

Passo 2

Vou explicar o que cada hipótese significa, porque isso é importante para simplificar a equação de energia:
  • Estacionário: para qualquer variável \varphi, \partial \varphi/\partial t = 0. Isso facilita porque não precisamos considerar termos de variação temporal.
  • Adiabático ( dq=0): não entra nem sai calor do controle; elimina termos de transferência de calor na primeira lei.
  • Sem trabalho de eixo ( w_s=0): não há trabalho mecânico externo (exceto o trabalho de pressão necessário para empurrar o fluido).
  • Inviscid (sem viscosidade): não há geração de entropia por atrito; isso permite que a energia mecânica não seja dissipada em calor interno.
  • Ao longo da linha de corrente: estamos interessados em uma relação que vale para partículas fluindo sobre uma mesma trajetória; isso permite integrar uma equação diferencial ao longo do percurso.

Passo 3

Agora a ideia física: a conservação de energia (primeira lei da termodinâmica) aplicada a um fluido em escoamento relaciona a energia interna por unidade de massa e, a energia cinética por unidade de massa \tfrac{v^{2}}{2} e a energia potencial por unidade de massa gz, além do trabalho de pressão associado ao escoamento. Para tratar o trabalho de pressão de forma conveniente usamos a entalpia por unidade de massa
h = e + \frac{p}{\rho},
onde:
  • h é a entalpia específica (J/kg),
  • e é a energia interna específica (J/kg),
  • p é a pressão (Pa),
  • \rho é a densidade (kg/m³).
Explicação do porquê da entalpia: em escoamentos, além da energia interna e, é necessário empurrar o fluido com uma pressão p através de um volume dV; o termo p/\rho representa esse “trabalho de fluxo” por unidade de massa.

Passo 4

Escrevendo a forma diferencial simplificada da primeira lei por unidade de massa para escoamento (uma forma usualmente usada em cursos):
dq = dh + d\!\left(\frac{v^{2}}{2}\right) + g\,dz - \delta w_s,
onde:
  • dq é o calor por unidade de massa,
  • dh é a variação de entalpia por unidade de massa,
  • v é a velocidade (m/s),
  • z é a cota (m),
  • \delta w_s é o trabalho de eixo por unidade de massa.
Agora aplicamos as hipóteses do enunciado:
  • Adiabático \Rightarrow dq=0.
  • Sem trabalho de eixo \Rightarrow \delta w_s=0.
  • Inviscid e ao longo de uma linha de corrente permitem integrar essa relação sem termos dissipativos.
Com isso sobra:
0 = dh + d\!\left(\frac{v^{2}}{2}\right) + g\,dz.

Passo 5

Integrando a relação anterior ao longo de uma linha de corrente (ou seja, somando as variações entre dois pontos da mesma linha), obtemos a forma conhecida da equação de Bernoulli em termos de entalpia:
h + \frac{v^{2}}{2} + g z = \text{constante ao longo da linha de corrente}.
Essa é a expressão energética que resulta das hipóteses dadas. Para fluidos incompressíveis (densidade constante) e quando as variações de energia interna são desprezíveis, a entalpia específica pode ser escrita como h \approx \dfrac{p}{\rho} (mais precisamente, h = e + p/\rho; para incompressível e temperatura constante, e é constante), e a equação fica na forma clássica mais conhecida:
\frac{p}{\rho} + \frac{v^{2}}{2} + g z = \text{constante}.

Passo 6

Comparando com as alternativas:
  • a) Equação da continuidade trata conservação de massa (não de energia) — não é o caso.
  • b) Equação de Bernoulli é exatamente a forma que acabamos de obter a partir das hipóteses (energia conservada ao longo da linha de corrente, sem calor, sem viscosidade, sem trabalho de eixo).
  • c) Segunda lei da termodinâmica trata entropia e irreversibilidades (não é o que a integral de energia reduz aqui).
  • d) Equação da energia interna refere-se apenas à energia interna e, não à combinação de entalpia + cinética + potencial que surge aqui.
Portanto a opção correta é a da Equação de Bernoulli.

Resposta

b) Equação da Bernoulli

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